Ліміт функцыі

У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Ліміт (матэматыка).

Лімі́т фу́нкцыі — значэнне, да якога прыбліжаецца (імкнецца) значэнне функцыі, калі яе аргумент імкнецца да некаторага пункта (магчыма, бесканечна аддаленага). Гэта адно з першасных паняццяў матэматычнага аналізу, на якім грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял.

Аперацыя знаходжання ліміту функцыі называецца лімітавым пераходам.

Калі функцыя f(x) мае ліміт A ў пункце a, гэта абазначаецца наступным чынам:

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A.}$

Азначэнне ліміту

(ε, δ)-азначэнне (паводле Кашы)

Калі пункт x знаходзіцца ў δ-наваколлі пункта c, значэнне f(x) знаходзіцца ў ε-наваколлі L

Лік A называецца лімітам функцыі f(x) пры імкненні x да a, калі для любога ліку ε > 0 існуе такі лік δ > 0, што для ўсіх x, якія задавальняюць умову

${\displaystyle 0<|x-a|<\delta ,}$

справядлівая няроўнасць

${\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon .}$

Або, кажучы словамі, функцыя мае ліміт A ў некаторым пункце, калі і толькі калі для любога ε > 0 можна знайсці такое наваколле гэтага пункта, у межах якога функцыя не адхіляецца ад A больш чым на ε > 0.

Азначэнне праз ліміт паслядоўнасці (паводле )

Функцыя f мае ў пункце a канечны ліміт A, калі і толькі калі для любой паслядоўнасці ${\displaystyle \scriptstyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$, якая збягаецца да пункта a:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=a,}$

адпаведная паслядоўнасць ${\displaystyle \scriptstyle \left(f(x_{n})\right)_{n=1}^{\infty }}$ значэнняў функцыі збягаецца да A:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f(x_{n})=A.}$

Крытэрыі і прыкметы існавання канечнага ліміту

Крытэрый Кашы існавання канечнага ліміту

Функцыя f(x) мае ў пункце a канечны ліміт, калі і толькі калі для адвольнага ε > 0 існуе такое δ > 0, што для любых x₁ і x₂, узятых з пункта a, спраўджваецца няроўнасць

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .}$

Заўвага: Крытэрый Кашы адрозніваецца ад азначэння паводле Кашы тым, што ў крытэрыі ніяк не ўдзельнічае значэнне ліміту. Крытэрый толькі сцвярджае існаванне ліміту, але нічога не кажа пра само лімітнае значэнне.

Уласцівасці

Калі існуюць канечныя ліміты ${\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to a}f(x)}$ і ${\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to a}g(x)}$, тады справядлівыя сцвярджэнні:

1) Лімітавы пераход з’яўляецца . Гэта значыць для адвольных лікаў λ і μ існуе ліміт лінейнай камбінацыі

${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}(\lambda f(x)+\mu g(x))=\lambda \lim \limits _{x\to a}f(x)+\mu \lim \limits _{x\to a}g(x).}$

Заўвага: з гэтай уласцівасці непасрэдна вынікаюць наступныя роўнасці:

${\displaystyle {\begin{matrix}\lim \limits _{x\to a}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits _{x\to a}f(x)+\lim \limits _{x\to a}g(x),\\\lim \limits _{x\to a}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _{x\to a}f(x)-\lim \limits _{x\to a}g(x).\end{matrix}}}$

2) Існуе ліміт здабытку гэтых функцый, прычым:

${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim \limits _{x\to a}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to a}g(x).}$

3) Калі ${\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to a}g(x)\neq 0}$, то існуе ліміт дзелі, прычым:

${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to a}f(x)}{\lim \limits _{x\to a}g(x)}}.}$

4) Калі f(x) > 0 і ${\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to a}f(x)\neq 0}$, то існуе ліміт ступені, прычым:

${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}\left(f(x)^{g(x)}\right)=\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)\right)^{\lim \limits _{x\to a}g(x)}.}$

Гл. таксама

• Ліміт у матэматыцы
• Ліміт паслядоўнасці

Зноскі

1. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.