Azərbaycanca  AzərbaycancaБеларуская  БеларускаяDeutsch  DeutschEnglish  EnglishFrançais  FrançaisҚазақ  ҚазақLietuvių  LietuviųРусский  Русскийภาษาไทย  ภาษาไทยTürkçe  TürkçeУкраїнська  Українська
Падтрымка
www.global-by3.nina.az
  • Галоўная
  • Вікіпедыя
  • Музыка

Тэарэма Менелая гэта класічная тэарэма афіннай геаметрыі Калі пункты A B displaystyle A B і C displaystyle C ляжаць адпа

Тэарэма Менелая

  • Галоўная старонка
  • Вікіпедыя
  • Тэарэма Менелая

Тэарэма Менелая — гэта класічная тэарэма афіннай геаметрыі.

Калі пункты A′,B′{\displaystyle A',B'}{\displaystyle A',B'} і C′{\displaystyle C'}{\displaystyle C'} ляжаць адпаведна на прамых BC,CA{\displaystyle BC,CA}{\displaystyle BC,CA} і AB{\displaystyle AB}{\displaystyle AB} трохвугольніка △ABC{\displaystyle \triangle ABC}{\displaystyle \triangle ABC}, то яны , тады і толькі тады калі

AB′B′C⋅CA′A′B⋅BC′C′A=−1.{\displaystyle {\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.}{\displaystyle {\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.}

Тут AB′B′C{\displaystyle {\frac {AB'}{B'C}}}{\displaystyle {\frac {AB'}{B'C}}}, CA′A′B{\displaystyle {\frac {CA'}{A'B}}}{\displaystyle {\frac {CA'}{A'B}}} і BC′C′A{\displaystyle {\frac {BC'}{C'A}}}{\displaystyle {\frac {BC'}{C'A}}} азначаюць . У прыватнасці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:

|AB′||B′C|⋅|CA′||A′B|⋅|BC′||C′A|=1.{\displaystyle {\frac {|AB'|}{|B'C|}}\cdot {\frac {|CA'|}{|A'B|}}\cdot {\frac {|BC'|}{|C'A|}}=1.}{\displaystyle {\frac {|AB'|}{|B'C|}}\cdot {\frac {|CA'|}{|A'B|}}\cdot {\frac {|BC'|}{|C'A|}}=1.}

Гісторыя

Падобны вынік у сферычнай геаметрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналагічны вынік на плоскасці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Менелая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.

Доказ

Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэння гэтай прамой з прамой A'C' . Трохвугольнікі △AC′B′{\displaystyle \triangle AC'B'}image і △CKB′{\displaystyle \triangle CKB'}image падобныя (па двум вуглам), таму

|AC′||CK|=|B′A||B′C|{\displaystyle {|AC'| \over |CK|}={|B'A| \over |B'C|}}image

і, значыць —

|CK|=|AC′|⋅|B′C||B′A|{\displaystyle |CK|={|AC'|\cdot |B'C| \over |B'A|}}image.

З другога боку, падобнымі з’яўляюцца таксама і тровугольнікі △BC′A′{\displaystyle \triangle BC'A'}image і △CKA′{\displaystyle \triangle CKA'}image, таму

|C′B||CK|=|BA′||A′C|{\displaystyle {|C'B| \over |CK|}={|BA'| \over |A'C|}}image

і, такім чынам —

|CK|=|C′B|⋅|A′C||BA|′{\displaystyle |CK|={|C'B|\cdot |A'C| \over |BA|'}}image.

Але ў такім выпадку

|AC′|⋅|B′C||B′A|=|C′B|⋅|A′C||BA′|{\displaystyle {|AC'|\cdot |B'C| \over |B'A|}={|C'B|\cdot |A'C| \over |BA'|}}image

або

|AC′||C′B|⋅|BA′||A′C|⋅|CB′||B′A|=1{\displaystyle {|AC'| \over |C'B|}\cdot {|BA'| \over |A'C|}\cdot {|CB'| \over |B'A|}=1}image.

Магчымыя два размяшчэнні пунктаў A′,B′{\displaystyle A',B'}image і C′{\displaystyle C'}image, альбо два з іх ляжаць на адпаведных баках трохвугольніка і адзін на падаўжэнні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэннях адпаведных бакоў, адсюль для маем

AB′B′C⋅CA′A′B⋅BC′C′A=−1.{\displaystyle {\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.}image

Аўтар: www.NiNa.Az

Дата публікацыі: 22 Май, 2025 / 14:19

Tearema Menelaya geta klasichnaya tearema afinnaj geametryi Kali punkty A B displaystyle A B i C displaystyle C lyazhac adpavedna na pramyh BC CA displaystyle BC CA i AB displaystyle AB trohvugolnika ABC displaystyle triangle ABC to yany tady i tolki tady kali AB B C CA A B BC C A 1 displaystyle frac AB B C cdot frac CA A B cdot frac BC C A 1 Tut AB B C displaystyle frac AB B C CA A B displaystyle frac CA A B i BC C A displaystyle frac BC C A aznachayuc U pryvatnasci z tearemy vynikayuc suadnosiny dlya dayzhyn AB B C CA A B BC C A 1 displaystyle frac AB B C cdot frac CA A B cdot frac BC C A 1 GistoryyaPadobny vynik u sferychnaj geametryi sustrakaecca y traktace Sphaerica pryblizna 100 y god nashaj ery i hutchej za ysyo analagichny vynik na ploskasci byy uzho vyadomy Getaya tearema nosic imya Menelaya bo ranejshyh pismovyh uspaminay ab getym vyniku ne zahavalasya DokazPravyadzem praz punkt S pramuyu paralelnuyu pramoj AB i abaznachym ceraz K punkt perasyachennya getaj pramoj z pramoj A C Trohvugolniki AC B displaystyle triangle AC B i CKB displaystyle triangle CKB padobnyya pa dvum vuglam tamu AC CK B A B C displaystyle AC over CK B A over B C i znachyc CK AC B C B A displaystyle CK AC cdot B C over B A Z drugoga boku padobnymi z yaylyayucca taksama i trovugolniki BC A displaystyle triangle BC A i CKA displaystyle triangle CKA tamu C B CK BA A C displaystyle C B over CK BA over A C i takim chynam CK C B A C BA displaystyle CK C B cdot A C over BA Ale y takim vypadku AC B C B A C B A C BA displaystyle AC cdot B C over B A C B cdot A C over BA abo AC C B BA A C CB B A 1 displaystyle AC over C B cdot BA over A C cdot CB over B A 1 Magchymyya dva razmyashchenni punktay A B displaystyle A B i C displaystyle C albo dva z ih lyazhac na adpavednyh bakah trohvugolnika i adzin na padayzhenni albo yse try lyazhac na padayzhennyah adpavednyh bakoy adsyul dlya maem AB B C CA A B BC C A 1 displaystyle frac AB B C cdot frac CA A B cdot frac BC C A 1

Апошнія артыкулы
  • Май 21, 2025

    Нікаля Бурбакі

  • Май 21, 2025

    Нізіна

  • Май 19, 2025

    Нізкі Рынак

  • Май 21, 2025

    Ніжняя Саксонія

  • Май 20, 2025

    Ніжняя Аўстрыя

www.NiNa.Az - Студыя

  • Вікіпедыя
  • Музыка
Звяжыцеся з намі
Мовы
Звязацца з намі
DMCA Sitemap
© 2019 nina.az - Усе правы абаронены.
Аўтарскія правы: Dadash Mammadov
Бясплатны сайт для абмену дадзенымі і файламі з усяго свету.
Верхняя частка