Рад Фур'е

Рад Фур'е — прадстаўленне адвольнай функцыі ${\displaystyle f}$ з перыядам ${\displaystyle \tau }$ у выглядзе рада

Вынікі дадавання членаў рада Фур'е пры прыбліжэнні разрыўнай кавалкава-пастаяннай функцыі

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(2\pi {\frac {k}{\tau }}x+\theta _{k}\right)}$

Гэты рад можна таксама запісаць у відзе

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{i2\pi {\frac {k}{\tau }}x},}$

дзе

${\displaystyle A_{k}}$ — амплітуда k-га гарманічнага вагання,

${\displaystyle 2\pi {\frac {k}{\tau }}=k\omega }$ — кругавая частата гарманічнага вагання,

${\displaystyle \theta _{k}}$ — пачатковая фаза k-га вагання,

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ — k-я камплексная амплітуда.

У больш агульным выглядзе радам Фур'е элемента называецца раскладанне гэтага элемента па . Існуе мноства сістэм : , Лагера, Кацельнікава і інш.

Раскладанне функцыі ў рад Фур'е з'яўляецца магутным інструментам пры рашэнні самых розных задач дзякуючы таму, што рад Фур'е празрыстым чынам паводзіць сябе пры дыферэнцаванні, інтэграванні, зруху функцыі па аргументу і функцый.

Рад названы так у гонар французскага матэматыка Жана Фур'е.

Трыганаметрычны рад Фур'е

Трыганаметрычным радам Фур'е функцыі ${\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}$ называюць віду

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$

(1)

дзе

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx,}$

Лікі ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ і ${\displaystyle b_{n}}$ (${\displaystyle n=1,2,\ldots }$) называюцца каэфіцыентамі Фур'е функцыі ${\displaystyle f}$. Формулы для іх можна растлумачыць наступным чынам. Дапусцім, трэба прадставіць функцыю ${\displaystyle f\in L_{2}([0,2\pi ])}$ у выглядзе рада (1), і трэба вызначыць невядомыя каэфіцыенты ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ і ${\displaystyle b_{n}}$. Калі дамножыць правую частку (1) на ${\displaystyle \cos(kx)}$ і праінтэграваць па прамежку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$, дзякуючы артаганальнасці ў правай частцы ўсе складнікі будуць роўныя нулю, акрамя аднаго. З атрыманай роўнасці лёгка выражаецца каэфіцыент ${\displaystyle a_{k}}$. Гэтак жа для ${\displaystyle b_{k}}$.

Рад (1) к функцыі ${\displaystyle f}$ у прасторы ${\displaystyle L_{2}([-\pi ,\pi ])}$. Іншымі словамі, калі абазначыць праз ${\displaystyle S_{k}(x)}$ частковыя сумы рада (1):

${\displaystyle S_{k}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{k}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),}$

то іх сярэдняе квадратовае адхіленне ад функцыі ${\displaystyle f}$ будзе імкнуцца к нулю:

${\displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }(f(x)-S_{k}(x))^{2}dx=0.}$

Нягледзячы на збежнасць стандартнага адхілення, рад Фур'е функцыі, увогуле кажучы, не абавязан збягацца к ёй папунктава.

Часта пры рабоце з радамі Фур'е бывае зручней у якасці базіса выкарыстоўваць замест сінусаў і косінусаў экспаненты ўяўнага аргумента. Разгледзім камплесназначных функцый са скалярным здабыткам

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}dx}$.

Таксама разгледзім сістэму функцый

${\displaystyle \varphi _{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),\quad k\in \mathbb {Z} .}$

Як і раней, гэтыя функцыі з'яўляюцца папарна артаганальнымі і ўтвараюць поўную сістэму, і такім чынам, любую функцыю ${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$ можна раскласці па іх у рад Фур'е:

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx},}$

дзе рад у правай частцы збягаецца к ${\displaystyle f}$ па норме ў ${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} ).}$ Тут

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx.}$

Каэфіцыенты ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ звязаны з класічнымі каэфіцыентамі Фур'е па наступных формулах:

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\begin{cases}(a_{k}-ib_{k})/2,&k>0,\\a_{0}/2,&k=0,\\(a_{|k|}+ib_{|k|})/2,&k<0.\end{cases}}}$

${\displaystyle a_{k}={\hat {f}}_{k}+{\hat {f}}_{-k},\quad k>0,}$

${\displaystyle b_{k}=i({\hat {f}}_{k}-{\hat {f}}_{-k}),\quad k>0.}$

• Камплексная функцыя рэчаіснай зменнай раскладаецца ў такі ж рад Фур'е па ўяўных экспанентах, як і рэчаісная, але ў адрозненне ад апошняй, у яе раскладанні ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ і ${\displaystyle {\hat {f}}_{-k}}$ не будуць, наогул кажучы, камплексна спалучанымі.

Абагульненні

Рады Фур'е ў гільбертавай прасторы

Апісаную вышэй канструкцыю можна абагульніць з выпадка з трыганаметрычнай сістэмай на адвольную гільбертаву прастору. Няхай зададзеныя ${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...\}}$ ў ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle f}$ — адвольны элемент з ${\displaystyle R}$. Дапусцім, трэба прадставіць ${\displaystyle f}$ у выглядзе (бесканечнай) лінейнай камбінацыі элементаў ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$:

${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}.}$

Дамножым гэты выраз на ${\displaystyle \varphi _{k}}$. З улікам артаганальнасці сістэмы функцый ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$ усе складнікі рада аказваюцца нулямі, акрамя складніка пры n = k:

${\displaystyle (f,\varphi _{k})=c_{k}\|\varphi _{k}\|^{2}.}$

Паслядоўнасць лікаў

${\displaystyle c_{k}={\frac {(f,\varphi _{k})}{\|\varphi _{k}\|^{2}}}}$

называецца каардынатамі, ці каэфіцыентамі Фур'е элемента ${\displaystyle f}$ па сістэме ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$, а рад

${\displaystyle \sum _{k}c_{k}\varphi _{k}}$

называецца радам Фур'е элемента ${\displaystyle f}$ па артаганальнай сістэме ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}}$.

Рад Фур'е любога элемента ${\displaystyle f}$ па любой артаганальнай сістэме збягаецца ў прасторы ${\displaystyle R}$, але яго сума не абавязкова роўная ${\displaystyle f}$. Для ${\displaystyle {\varphi _{k}}}$ у гільбертавай прасторы наступныя ўмовы раўназначныя:

• сістэма з'яўляецца базісам, г. зн. сума рада Фур'е любога элемента роўная гэтаму элементу.
• сістэма з'яўляецца поўнай, г. зн. у ${\displaystyle R}$ не існуе ненулявога элемента, артаганальнага ўсім элементам ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{n},\dots }$ адначасова.
• сістэма з'яўляецца замкнутай, г. зн. для любога ${\displaystyle f\in R}$ справядліва

  ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}=\|f\|^{2}.}$

• лінейныя камбінацыі элементаў ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...}$ ў прасторы ${\displaystyle R}$.

Калі гэтыя ўмовы не выконваюцца, то сума рада Фур'е элемента ${\displaystyle f}$ роўная яго на элементаў ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{n},\dots .}$ У гэтым выпадку замест роўнасці Парсеваля справядліва няроўнасць Беселя:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}\leq \|f\|^{2}.}$

Прыклады  

Трыганаметрычныя функцыі ${\displaystyle \sin(kx)}$, ${\displaystyle \cos(kx)}$ утвараюць базіс гільбертавай прасторы ${\displaystyle L_{2}[-\pi ,\pi ]}$. Калі мы разгледзім толькі косінусы ці толькі сінусы, то такая сістэма больш не будзе поўнай. Замыканне лінейнай абалонкі функцый ${\displaystyle \cos(kx)}$ — гэта ўсе цотныя функцыі з ${\displaystyle L_{2}}$, а замыканне лінейнай абалонкі функцый ${\displaystyle \sin(kx)}$ — усе няцотныя функцыі. Вынікам раскладання функцыі ${\displaystyle f}$ у рады Фур'е па гэтых сістэмах будуць адпаведна цотная і няцотная часткі функцыі ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \sum \limits _{0}^{n}a_{k}\cos(kx)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},}$

${\displaystyle \sum \limits _{1}^{n}b_{k}\sin(kx)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.}$

Яшчэ цікавейшая сітуацыя ўзнікае пры разглядзе сістэмы ${\displaystyle \{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty }}$. Гэта сістэма зноў не будзе поўнаю. Замыканне яе лінейнай абалонкі — прастора Хардзі ${\displaystyle H_{2}}$. Элементы гэтай прасторы — тыя і толькі тыя функцыі ${\displaystyle f\in L_{2}}$, што ${\displaystyle f(t)=g(e^{it})}$, дзе ${\displaystyle g}$ — гранічныя значэнні некаторай функцыі, аналітычнай у крузе ${\displaystyle |z|<1}$ на мяжы гэтага круга

Дваістасць Пантрагіна

Асноўны артыкул:

Пры абагульненні радоў Фур'е на выпадак гільбертавых прастор губляюцца ўласцівасці, якія звязваюць рады Фур'е са — тое, што каэфіцыенты Фур'е згорткі функцый з'яўляюцца пачленнымі здабыткамі іх каэфіцыентаў Фур'е, і наадварот, каэфіцыенты Фур'е здабытку прадстаўляюцца згорткаю каэфіцыентаў Фур'е сумножнікаў. Гэтыя ўласцівасці ключавыя для прыкладанняў тэорыі Фур'е да рашэння дыферэнцыяльных, інтэгральных і іншых функцыянальных ураўненняў. Таму найбольш цікавымі з'яўляюцца такія абагульненні радоў Фур'е, для якіх гэтыя ўласцівасці захоўваюцца. Такім абагульненнем з'яўляецца тэорыя дваістасці Пантрагіна. Яна разглядае функцыі, зададзеныя на абелевых групах. Аналагам рада Фур'е такой функцыі будзе функцыя, зададзеная на дваістай групе.

Збежнасць рада Фур'е

Збежнасць рада Фур'е

Агляд вынікаў аб збежнасці рада Фур'е

Абазначым праз ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ частковыя сумы рада Фур'е функцыі ${\displaystyle f(x)}$:

${\displaystyle S_{N}(f,x):=\sum \limits _{k=-N}^{N}{\hat {f}}_{k}e^{ikx}.}$

Далей абмяркоўваецца збежнасць паслядоўнасці функцый ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ к функцыі ${\displaystyle f(x)}$ у розных сэнсах. Функцыя ${\displaystyle f}$ лічыцца ${\displaystyle 2\pi }$-перыядычнаю (калі яна зададзена толькі на прамежку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$, яе можна перыядычна працягнуць).

• Калі ${\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}$, то паслядоўнасць ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ збягаецца к функцыі ${\displaystyle f(x)}$ . Акрамя таго, ${\displaystyle S_{N}(f,x)}$ з'яўляюцца найлепшым (у сэнсе адлегласці ў ${\displaystyle L_{2}}$) прыбліжэннем функцыі ${\displaystyle f}$ ступені не больш за ${\displaystyle N}$.
• Збежнасць радоў Фур'е ў зададзеным пункце ${\displaystyle x_{0}}$ — лакальная ўласцівасць, г. зн. калі функцыі ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ супадаюць у некаторым наваколлі ${\displaystyle x_{0}}$, то паслядоўнасці ${\displaystyle S_{N}(f,x_{0})}$ і ${\displaystyle S_{N}(g,x_{0})}$ альбо адначасова разбягаюцца, альбо адначасова збягаюцца, і ў гэтым выпадку іх граніцы супадаюць.
• Калі функцыя ${\displaystyle f}$ дыферэнцавальная ў пункце ${\displaystyle x_{0}}$, то яе рад Фур'е ў гэтым пункце збягаецца к ${\displaystyle f(x_{0})}$. Больш дакладныя дастатковыя ўмовы ў тэрмінах гладкасці функцыі ${\displaystyle f}$ задаюцца .
• Функцыя, непарыўная ў пункце ${\displaystyle x_{0}}$, можа мець разбежны ў ёй рад Фур'е. Але, калі ён збягаецца, то абавязкова к ${\displaystyle f(x_{0})}$. Гэта вынікае з таго, што для непарыўнай у ${\displaystyle x_{0}}$ функцыі ${\displaystyle f}$ паслядоўнасць ${\displaystyle S_{N}(f,x_{0})}$ к ${\displaystyle f(x_{0})}$.
• Калі функцыя ${\displaystyle f}$ разрыўная ў пункце ${\displaystyle x_{0}}$, але мае граніцы ў гэтым пункце справа і злева ${\displaystyle f(x_{0}+0)\neq f(x_{0}-0)}$, то пры некаторых дадатковых умовах ${\displaystyle S_{N}(f,x_{0})}$ збягаюцца к ${\displaystyle (f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0))/2}$. Падрабязней гл. .
• Тэарэма Карлесана: калі ${\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}$, то яе рад Фур'е збягаецца к ёй . Гэта верна і калі ${\displaystyle f\in L_{p}([-\pi ,\pi ]),p>1}$. Аднак, існуюць функцыі з ${\displaystyle L_{1}([-\pi ,\pi ])}$, чый рад Фур'е разбягаецца ва ўсіх пунктах (тэарэма Калмагорава).
• Возьмем пункт ${\displaystyle x_{0}\in (-\pi ,\pi )}$. Тады мноства ўсіх непарыўных функцый, чый рад Фур'е збягаецца ў гэтым пункце, з'яўляецца мноствам ў . У некаторым сэнсе гэта азначае, што «тыповая» непарыўная функцыя мае разбежны рад Фур'е.

Спаданне каэфіцыентаў Фур'е і аналітычнасць функцыі

Існуе фундаментальная сувязь паміж аналітычнасцю функцыі і скорасцю спадання яе каэфіцыентаў Фур'е. Чым «лепшая» функцыя, тым скарэй яе каэфіцыенты імкнуцца да нуля, і наадварот. Ступеннае спаданне каэфіцыентаў Фур'е ўласцівае функцыям класа ${\displaystyle C^{(k)}}$, а экспаненцыяльнае — аналітычным функцыям. Прыклады такой сувязі:

• Каэфіцыенты Фур'е любой інтэгравальнай функцыі імкнуцца да нуля (^[en]).
• Калі функцыя ${\displaystyle f}$ належыць класу ${\displaystyle C^{(k)}([-\pi ,\pi ])}$, г. зн. дыферэнцавальная k разоў і яе k-я вытворная непарыўная, то ${\displaystyle {\hat {f}}_{n}=o\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)}$
• Калі рад ${\displaystyle \sum n^{\alpha }{\hat {f}}_{n}}$ , то ${\displaystyle f\in C^{(k)}([-\pi ,\pi ])}$ пры ўсіх ${\displaystyle k<\alpha }$.
• Калі функцыя належыць з паказчыкам ${\displaystyle \alpha >1/2}$, та рад ${\displaystyle \sum {\hat {f}}_{n}}$ збягаецца абсалютна ().
• Калі ${\displaystyle {\hat {f}}_{n}=O(a^{n}),0<a<1}$, то функцыя ${\displaystyle f}$ з'яўляецца аналітычнаю. Справядліва і адваротнае.

Гл. таксама

• Пераўтварэнне Фур’е
• Лікавы рад

Літаратура

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.