Магнітастатыка

У гэтай старонкі няма правераных версій, хутчэй за ўсё, яе якасць не ацэньвалася на адпаведнасць стандартам.

Магнітастатыка — падзел класічнай электрадынамікі, які вывучае ўзаемадзеянне пастаянных токаў з дапамогай ствараемага імі пастаяннага магнітнага поля і спосабы разліку магнітнага поля ў гэтым выпадку. Пад выпадкам магнітастатыкі або набліжэннем магнітастатыкі разумеюць выкананне гэтых умоў (сталасці токаў і палёў - або досыць павольная іх змена з часам), каб можна было карыстацца метадамі магнітастатыкі ў якасці практычна дакладных ці хаця б набліжаных. Магнітастатыка разам з электрастатыкай уяўляюць сабой прыватны выпадак (або набліжэнне) класічнай электрадынамікі; іх можна выкарыстоўваць сумесна і незалежна (разлік электрычнага і магнітнага палёў у гэтым выпадку не мае ўзаемазалежнасцей - у адрозненне ад агульнага электрадынамічнага выпадкі).

Электрадынаміка

Электрычнасць · Магнетызм Электрастатыка Закон Кулона Тэарэма Гауса Электрычны дыпольны момант Электрычны зарад Электрычная індукцыя Электрычнае поле Электрастатычны патэнцыял Магнітастатыка Закон Біё — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнітны момант Магнітнае поле Магнітны паток Электрадынаміка Электрычны дыполь Сіла Лорэнца Ураўненні Максвела Электрычны ток Электрарухальная сіла Электрамагнітная індукцыя Электрамагнітнае выпраменьванне Электрамагнітнае поле Электрычны ланцуг Закон Ома Правілы Кірхгофа Індуктыўнасць Рэзанатар Электрычная праводнасць Электрычнае супраціўленне Каварыянтная фармулёўка Вядомыя вучоныя Генры Кавендыш Майкл Фарадэй Андрэ Мары Ампер Густаў Роберт Кірхгоф Джэймс Клерк Максвел Генрых Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсан Роберт Эндрус Мілікен

глядзець правіць

Асноўныя ўраўненні

Усе асноўныя ўраўненні магнітастатыкі лінейныя (як і класічнай электрадынамікі наогул, прыватным выпадкам якой магнітастатыка з'яўляецца). Гэта мае на ўвазе важную ролю ў магнітастатыцы (таксама як і ва ўсёй электрадынаміцы) прынцыпу суперпазіцыі.

• для магнітастатыкі можа быць сфармуляваны так: магнітнае поле, якое ствараецца некалькімі токамі, ёсць вектарная сума палёў, якія б ствараліся кожным з гэтых токаў паасобку.

Гэты прынцып аднолькава фармулюецца і ў прынцыпе аднолькава выкарыстоўваецца для вектару магнітнай індукцыі і для і ўжываецца пры разліках паўсюдна. Асабліва відавочным і прамым чынам гэта праяўляецца, калі пры ўжыванні закона Бія - Савара (гл. ніжэй) для разліку магнітнага поля ${\displaystyle {\vec {B}}}$ вырабляецца сумаванне (інтэграванне) бясконца малых укладаў ${\displaystyle d{\vec {B}}}$, якія ствараюцца кожным бясконца малым элементам току, што цякуць у розных кропках прасторы (сапраўды гэтак жа і пры ўжыванні варыянту гэтага закона для вектарнага патэнцыялу).

Асноўныя ўраўненні, якія выкарыстоўваюцца ў магнітастатыцы

• Закон Бія - Савара - Лапласа (велічыня магнітнага поля, генераванага ў дадзенай кропцы элементам току)

  ${\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {I}{c}}{\frac {\left[{\vec {dl}}\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}}$

  ${\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {1}{c}}{\frac {\left[{\vec {j}}dV\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}}$

• ${\displaystyle \oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}I\equiv {\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {dS}}}$

• яна ж у дыферэнцыяльнай форме:

  ${\displaystyle \mathrm {rot} {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}}$

• Выраз для сілы Лорэнца (сілы, з якой на рухаецца зараджаную часціцу дзейнічае магнітнае поле)

  ${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {q}{c}}\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]}$

• Выраз для сілы Ампера (сілы, з якой на элемент току дзейнічае магнітнае поле)

  ${\displaystyle d{\vec {F}}={\frac {I}{c}}\left[{\vec {dl}}\times {\vec {B}}\right]}$

(гэтыя ўраўненні запісаныя ў сістэме СГС; ніжэй - у СІ)

у сістэме СІ  

У сістэме СІ гэтыя ўраўненні (таксама для вакууму) выглядаюць вось як:

• Закон Бія — Савара — Лапласа:

  ${\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\left[I{\vec {dl}}\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}}$

  ${\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\left[{\vec {j}}dV\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}}$

• Тэарэма пра цыркуляцыю магнітнага поля:

  ${\displaystyle \oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}=\mu _{0}I\equiv \mu _{0}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {dS}}}$

• яна ж у дыферэнцыяльнай форме::

  ${\displaystyle \mathrm {rot} {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}}$

• Сіла Лорэнца:

  ${\displaystyle {\vec {F}}=q\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]}$

• Сіла Ампера:

  ${\displaystyle d{\vec {F}}=I\left[{\vec {dl}}\times {\vec {B}}\right]}$

Тут ${\displaystyle {\vec {B}}}$ - вектар магнітнай індукцыі, I - сіла току ў правадыру (а ў тэарэме пра цыркуляцыю - сумарны ток праз паверхню), ${\displaystyle {\vec {dl}}}$ - элемент правадыра (у тэарэме пра цыркуляцыю - элемент контуру інтэгравання), ${\displaystyle {\vec {r}}}$ - радыус-вектар, праведзены з элемента току ў кропку, у якой вызначаецца магнітнае поле, ${\displaystyle {\vec {j}}}$ - шчыльнасць току, ${\displaystyle q,{\vec {v}}}$ - велічыня зарада і хуткасць зараджанай часціцы.

• Для разліку магнітнага поля ў магнитастатыцы можна карыстацца (і часта гэта вельмі зручна) паняццем магнітнага зарада, якія робяць аналогію магнитастатыкі з электрастатыкай больш дэталёвай і якія дазваляюць прымяняць у магнітастатыцы формулы, аналагічныя формулам электрастатыкі - але не для электрычнага, а для магнітнага поля. Звычайна (за выключэннем выпадку тэарэтычнага разгляду гіпатэтычных магнітных манаполяў) маецца на ўвазе толькі чыста фармальнае выкарыстанне, так як у рэальнасці магнітныя зарады не выяўленыя. Такое фармальнае выкарыстанне (фіктыўных) магнітных зарадаў магчыма дзякуючы тэарэме эквівалентнасці поля магнітных зарадаў і палі пастаянных электрычных токаў. Фіктыўныя магнітныя зарады можна выкарыстоўваць пры вырашэнні розных задач як у якасці крыніц магнітнага поля (напрыклад, магнітам або шпулькай), так і для вызначэння дзеянні знешніх магнітных палёў на магнітнае цела (магніт, катушку).

Ураўненні магнітастатыкі ў асяроддзі

Ураўненні «для вакууму», прыведзеныя ў пачатку артыкула, з'яўляюцца найбольш фундаментальнымі і простымі (у прынцыпе) ўраўннннямі магнітастатыкі.

Аднак калі мова ідзе пра вылічэнні магнітнага поля ў асяроддзі магнетыка, больш зручнымі для практычных вылічэнняў, а да некаторай ступені і ў тэарэтычным плане, з'яўляюцца менш фундаментальныя, аднак добра прыстасаваныя да гэтай сітуацыі, так званыя ўраўненні для асяроддзя (або ў асяроддзі).

• Гаворачы аб тэрміналогіі, варта заўважыць, што тэрміны ўраўненні для вакууму і ўраўненні для асяроддзя можна лічыць у прыкметнай меры ўмоўнымі , аднак гэтая тэрміналогія мае даволі яснае апраўданне (гл. папярэднюю нататку); акрамя таго, яна досыць сталая і таму не прыводзіць да блытаніны.

Такім чынам, ўраўненні для асяроддзя выкарыстоўваюцца ў магнітастатыцы для таго, каб даследаваць магнітнае поле ў выпадку, калі ўся прастора або некаторыя яго вобласці запоўненыя магнітным асяроддзем (магнетыкамі). Маецца на ўвазе звычайна, што асяроддзе разглядаецца макраскапічна (гэта значыць мікраскапічныя палі - палі на атамных маштабах - ўсярэдніваюцца, атамныя, малекулярныя токі і магнітныя моманты таксама разглядаюцца толькі ў іх сукупнасці). На мікраскапічным узроўні дзейнічаюць фундаментальныя ўраўненні для вакууму, згаданыя ў артыкуле вышэй, таму ў кантэксце даследаванняў у асяроддзі ўраўненні для вакуума называюцца таксама мікраскапічнымі ўраўненнямі у процілегласць самім макраскапічным ўраўненням для поля ў асяроддзі.

Формулы для дзеяння поля, на які рухаецца зарад (сілы Лорэнца) або на ток (сілы Ампера) для выпадку магнітных асяроддзяў захоўваюцца цалкам нязменнымі, такімі ж, як і для вакууму.

Што тычыцца астатніх ураўненняў, яны перажываюць для асяроддзя пэўныя змены ў параўнанні з вакуумам (маюцца на ўвазе, вядома, макраскапічныя ўраўненні, мікраскапічныя застаюцца тымі ж, што і для вакууму).

У прынцыпе, можна ўводзіць гэтыя змены па-рознаму , але вельмі агульны, традыцыйны і зручны падыход, які з'яўляецца агульнапрынятым і стандартным : запісаць ураўненні з выкарыстаннем дапаможнай фізічнай велічыні Напружанасць магнітнага поля ${\displaystyle {\vec {H}}}$, спецыяльна якая ўводзіцца ў гэтым выпадку.

${\displaystyle {\vec {H}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {M}}}$, где ${\displaystyle \mu _{0}}$

- У сістэме СІ,

${\displaystyle {\vec {H}}={\vec {B}}-4\pi {\vec {M}}}$

- У сістэме СГС.

• Тут ${\displaystyle {\vec {M}}}$ - вектар намагнічанасці, які характарызуе магнітную палярызацыю асяроддзя.

Сэнс яе ўвядзення складаецца ў тым, што з яе дапамогай можна перапісаць усе асноўныя ўраўненні ў выглядзе, вельмі падобным на тыя, што маюць фундаментальныя ўраўненні (для вакууму), а ўсё датычыцца рэальнай асяроддзя змясціць па магчымасці ў асобнае ўраўненне, што дазваляе лепш лагічна структураваць задачу. У параўнальна простых, але важных выпадках, да якіх адносіцца і практычна ўся магнітастатыка, гэта ўдаецца зрабіць настолькі добра, што, у прынцыпе, сапраўды ўсё, якое тычыцца канкрэтнага асяроддзя, аказваецца цалкам схавана ў адзіную залежнасць - залежнасць намагнічанасці ад намагнічвалага поля (гэта значыць, у прынцыпе, у адну-адзіную формулу) выгляду ${\displaystyle {\vec {M}}=f({\vec {H}})}$ (для выпадку ферамагнетыкаў, калі патрабаваць дакладнасці апісання, некалькі складаней, але не нашмат).

Пры гэтым, што таксама каштоўна, ўраўненні для вакууму становяцца прыватным выпадкам ураўненняў для асяроддзя (выпадкам асяроддзя з заўсёды нулявой намагнічанасцю).

• У прасцейшым, але практычна важным выпадку лінейнага водгуку асяроддзя на поле, ${\displaystyle {\vec {B}}}$ проста прапарцыйна ${\displaystyle {\vec {H}}}$, а калі сярод ізатропных па сваіх магнітным уласцівасцям, то гэта зводзіцца проста да множанню на лік:

${\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}\mu {\vec {H}}}$

у СІ .

Зноскі

1. Нелінейнасць ураўненняў узнікае толькі для ўраўненняў для асяроддзя (пра якіх напісана ў асобным параграфе, у іх матэрыяльнай часткі, і то ў «матэрыяльных» ўраўненнях. Фундаментальныя жа ўраўненні (абмяркоўваюцца ў гэтым параграфе) захоўваюць дакладную лінейнасць практычна заўсёды.
2. Тут запісаныя ў гаусавай сістэме.
3. Справа ў тым, што «ўраўненні для вакууму» самі па сабе цалкам справядлівыя і для поля ў магнітнаму асяроддзі (коратка кажучы - хоць бы таму, што асяроддзе і складаецца з часціц, якія знаходзяцца ў вакууме), аднак для таго, каб іх ужыць, трэба мець на ўвазе пры іх запісы усе токі (уключаючы мікраскапічныя токі, абумоўленыя магнітнай палярызацыяй асяроддзя, у тым ліку малекулярныя токі і нават токі, якія адпавядаюць магнітным момантам асобных элементарных элементарных часціц), прычым збольшага гэтыя токі часцяком абумоўлены даволі нетрывіяльнымі ўласцівасцямі асяроддзя, які не зводзіць да ўласна электрамагнетызму. У гэтым сэнсе «ўраўненні для асяроддзя» - прыкметна зручней, так як, з'яўляючыся фенаменалагічнымі ўраўненнямі, ўключаюць тое, што тычыцца палярызацыяй асяроддзя ва ўжо досыць кампактным выглядзе. З іншага боку, ўраўненні для асяроддзя ў прыватным выпадку, а менавіта ў выпадку нулявой асяроддзя, якой валодае вакуум (у ім адсутнічае рэчыва, здольнае палярызавацца), пераходзяць ва ўраўненні для вакууму (бо вакуум - гэта прыватны выпадак асяроддзя: серада з адсутнасцю магнетыкаў), гэта значыць аказваюцца прыдатныя і для яго. Хоць пры гэтым, вядома, назва ўраўненні для асяроддзя цалкам апраўдана, бо для апісання поля ў вакууме яны залішнія.
4. Да той ступені, да якой яны не абмяжоўваюцца квантавымі папраўкамі; зрэшты, для звычайных магнетыкаў умяшанне квантавай тэорыі ў выніку даволі невялікае, і часта можна для асяроддзя эфектыўна карыстацца досыць простымі чыста класічнымі мадэлямі.
5. Напрыклад, для вырашэння нейкіх прыватных простых задач стандартны падыход у поўным выглядзе можа быць некалькі залішнім; зрэшты, і тады часта разумна проста скарыстацца нейкімі больш простымі формуламі, якія з'яўляюцца яго следствамі.
6. І выкарыстоўваным не толькі ў магнітастатыцы, але і ў электрадынаміцы ў цэлым; там, праўда, выкарыстоўваецца яшчэ адна дапаможная велічыня, якая ўводзіцца па вельмі падобнай логіцы для электрычнага поля.
7. У электрадынаміцы ў агульным выпадку гэта цяжэй, перш за ўсё, па той прычыне, што паводзіны асяроддзя ў поле, што залежыць ад часу, у прынцыпе, значна складаней, чым у пастаянным полі.
8. Часам такую лінейнасць можна выкарыстоўваць у якасці больш ці менш грубага набліжэння, але досыць часта - і ў якасці вельмі дакладнага.
9. :${\displaystyle {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}}$

   в СГС.