Непарыўнасць

Неперарыўная функцыя (неперарыўнае адлюстраванне), або непарыўная функцыя (непарыўнае адлюстраванне) — функцыя без «скачкоў», г.зн. такая, у якой малое змяненне аргумента прыводзіць да малога змянення значэння функцыі.

Строгае азначэнне

ε-δ азначэнне

Няхай ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} }$ і ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$.

Функцыя ${\displaystyle f}$ называецца непарыўнаю ў пункце ${\displaystyle x_{0}\in D,}$ калі для любога ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існуе ${\displaystyle \delta >0}$ такое, што для любога

${\displaystyle x\in D,\ |x-x_{0}|<\delta }$

справядліва

${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$

Функцыя ${\displaystyle f}$ называецца непарыўнаю на мностве ${\displaystyle E}$, калі яна непарыўная ў кожным пункце мноства.

У гэтым выпадку кажуць, што функцыя ${\displaystyle f}$ належыць класу ${\displaystyle C^{0}}$, і пішуць: ${\displaystyle f\in C^{0}(E)}$ ці, падрабязней, ${\displaystyle f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )}$.

Інакш кажучы, функцыя ${\displaystyle f}$ непарыўная ў пункце ${\displaystyle x_{0}}$, для мноства ${\displaystyle D}$, калі ${\displaystyle f}$ мае граніцу ў пункце ${\displaystyle x_{0}}$, і гэта граніца супадае са значэннем функцыі ${\displaystyle f(x_{0})}$.

Пункты разрыву

Калі ўмова ў азначэнні непарыўнасці функцыі ў некаторым пункце парушаецца, то кажуць, што функцыя мае ў дадзеным пункце разрыў. Іншымі словамі, калі ${\displaystyle A}$ — значэнне функцыі ${\displaystyle f}$ у пункце ${\displaystyle a}$, то граніца такой функцыі (калі яна існуе) у гэтым пункце не супадае з ${\displaystyle A}$. На мове наваколляў умова разрыўнасці функцыі ${\displaystyle f}$ у пункце ${\displaystyle a}$ атрымліваецца адмаўленнем умовы непарыўнасці функцыі ў дадзеным пункце, а іменна: існуе такое наваколле пункта ${\displaystyle A}$ вобласці значэнняў функцыі ${\displaystyle f}$, што як бы мы блізка не падыходзілі к пункту ${\displaystyle a}$ вобласці вызначэння функцыі ${\displaystyle f}$, заўсёды знойдуцца такія пункты, чые вобразы будуць за межамі наваколля пункта ${\displaystyle A}$.

Скасавальныя пункты разрыву

Калі граніца функцыі існуе, але функцыя не вызначана ў гэтым пункце, ці граніца не супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце:

${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a),}$

то пункт ${\displaystyle a}$ называецца пунктам скасавальнага разрыву функцыі ${\displaystyle f}$ (у камплексным аналізе — ).

Калі «паправіць» функцыю ${\displaystyle f}$ у пункце скасавальнага разрыву і прыняць ${\displaystyle f(a)=\lim \limits _{x\to a}f(x),}$ то атрымаецца функцыя, непарыўная ў дадзеным пункце. Такая аперацыя над функцыяй называецца давызначэннем функцыі да непарыўнай ці давызначэннем функцыі па непарыўнасці, што і абгрунтоўвае назву, як пункта скасавальнага разрыву.

Пункты разрыву першага і другога роду

Калі граніца функцыі ў дадзеным пункце не існуе (і функцыю нельга давызначыць да непарыўнай), то для лікавых функцый узнікае дзве магчымасці, звязаныя з існаваннем у лікавых функцый аднабаковых граніц:

• калі абедзве аднабаковыя граніцы існуюць і канечныя, але хоць адна з іх адрозніваецца ад значэння функцыі ў дадзеным пункце, то такі пункт называюць пунктам разрыву першага роду;
• калі хаця б адна з аднабаковых граніц не існуе ці не з'яўляецца канечнаю велічынёю, то такі пункт называюць пунктам разрыву другога роду.

Уласцівасці

Лакальныя

• Функцыя, непарыўная ў пункце ${\displaystyle a\,}$, абмежавана ў некаторым наваколлі гэтага пункта.
• Калі функцыя ${\displaystyle f\,}$ непарыўная ў пункце ${\displaystyle a\,}$ і ${\displaystyle f(a)>0\,}$ (ці ${\displaystyle \,f(a)<0}$), то ${\displaystyle f(x)>0\,}$ (ці ${\displaystyle \,f(x)<0}$) для ўсіх ${\displaystyle \,x}$, дастаткова блізкіх да ${\displaystyle \,a}$.
• Калі функцыі ${\displaystyle f\,}$ і ${\displaystyle g\,}$ непарыўныя ў пункце ${\displaystyle \,a}$, то функцыі ${\displaystyle f+g\,}$ і ${\displaystyle f\cdot g\,}$ таксама непарыўныя ў пункце ${\displaystyle \,a}$.
• Калі функцыі ${\displaystyle f\,}$ і ${\displaystyle g\,}$ непарыўныя ў кропцы ${\displaystyle a\,}$ і пры гэтым ${\displaystyle \,g(a)\neq 0}$, то функцыя ${\displaystyle f/g\,}$ таксама непарыўная ў кропцы ${\displaystyle \,a}$.
• Калі функцыя ${\displaystyle f\,}$ непарыўная ў пункце ${\displaystyle a\,}$ і функцыя ${\displaystyle g\,}$ непарыўная ў кропцы ${\displaystyle \,b=f(a)}$, то іх кампазіцыя ${\displaystyle \,h=g\circ f}$ непарыўная ў кропцы ${\displaystyle \,a}$.

Глабальныя

• Функцыя, непарыўная на адрэзку (ці на любой іншай ), на ім.
• Функцыя, непарыўная на адрэзку (ці на любым іншым ), абмежавана і дасягае на ім свайго найбольшага і найменшага значэння.
• Вобласцю значэнняў функцыі ${\displaystyle f\,}$, непарыўнай на адрэзку ${\displaystyle \,[a,b]}$, з'яўляецца адрэзак ${\displaystyle \,[\min f,\ \max f],}$ дзе мінімум і максімум бяруцца па адрэзку ${\displaystyle \,[a,b]}$.
• Калі функцыя ${\displaystyle f\,}$ непарыўная на адрэзку ${\displaystyle \,[a,b]}$ і ${\displaystyle \,f(a)\cdot f(b)<0,}$ то існуе кропка ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ у якой ${\displaystyle \,f(\xi )=0.}$
• Калі функцыя ${\displaystyle f\,}$ непарыўная на адрэзку ${\displaystyle \,[a,b]}$ і лік ${\displaystyle \varphi \,}$ задавальняе няроўнасць ${\displaystyle \,f(a)<\varphi <f(b)}$ ці няроўнасць ${\displaystyle \,f(a)>\varphi >f(b),}$ то існуе пункт ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ у яком ${\displaystyle \,f(\xi )=\varphi .}$
• Непарыўнае адлюстраванне адрэзка ў рэчаісную прамую ін'ектыўнае тады і толькі тады, калі дадзеная функцыя на адрэзку строга .
• на адрэзку ${\displaystyle \,[a,b]}$ непарыўная тады і толькі тады, калі вобласць яе значэнняў ёсць адрэзак з канцамі ${\displaystyle f(a)\,}$ і ${\displaystyle \,f(b)}$.
• Калі функцыі ${\displaystyle f\,}$ і ${\displaystyle g\,}$ непарыўныя на адрэзку ${\displaystyle \,[a,b]}$, прычым ${\displaystyle \,f(a)<g(a)}$ і ${\displaystyle \,f(b)>g(b),}$ то існуе пункт ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ у яком ${\displaystyle \,f(\xi )=g(\xi ).}$ Адсюль, сярод іншага, вынікае, што любое непарыўнае адлюстраванне адрэзка ў сябе мае хаця б адзін .

Прыклады

Элементарныя функцыі

Адвольныя мнагачлены, , паказчыкавыя функцыі, лагарыфмы, трыганаметрычныя функцыі (прамыя і адваротныя) непарыўныя ўсюды ў сваёй вобласці вызначэння.

Функцыя са скасавальным разрывам

Функцыя ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ вызначаная згодна з формулаю

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}},&x\neq 0,\\0,&x=0,\end{cases}}}$

непарыўная ў любым пункце ${\displaystyle x\neq 0.}$ Пункт ${\displaystyle x=0}$ з'яўляецца пунктам скасавальнага разрыву, бо граніца функцыі

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq 0=f(0).}$

Функцыя знака

Функцыя

${\displaystyle f(x)=\operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }$

называецца .

Гэта функцыя непарыўная ў кожным пункце ${\displaystyle x\neq 0}$.

Пункт ${\displaystyle x=0}$ ёсць пунктам разрыву першага роду, прычым

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)}$,

тады як у самім пункце функцыя раўняецца нулю.

Ступеньчатая функцыя

Ступеньчатая функцыя, вызначаная як

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }$

усюды непарыўная, акрамя кропкі ${\displaystyle x=0}$, дзе функцыя церпіць разрыў першага роду. Тым не менш, у пункце ${\displaystyle x=0}$ існуе правабаковая граніца, якая супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце. Такім чынам, гэта функцыя з'яўляецца прыкладам непарыўнай справа функцыі на ўсёй вобласці вызначэння.

Гэтак жа, ступеньчатая функцыя, вызначаная як

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }$

з'яўляецца прыкладам непарыўнай злева функцыі на ўсёй вобласці вызначэння.

Функцыя Дзірыхле

Асноўны артыкул:

Функцыя

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}$

называецца . Па сутнасці, функцыя Дзірыхле — гэта рацыянальных лікаў. Гэта функцыя з'яўляецца ўсюды разрыўнаю функцыяй, бо на любым прамежку ёсць як рацыянальныя, так і ірацыянальныя лікі.

Функцыя Рымана

Функцыя

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&x={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} ,\ (m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}$

называецца .

Гэта функцыя з'яўляецца непарыўнаю ўсюды на мностве ірацыянальных лікаў (${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$), бо граніца функцыі ў кожным ірацыянальным пункце раўняецца нулю.

Варыяцыі і абагульненні

Раўнамерная непарыўнасць

Асноўны артыкул:

Функцыя ${\displaystyle f}$ называецца раўнамерна непарыўнаю на ${\displaystyle E}$, калі для любога ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існуе ${\displaystyle \delta >0}$ такое, што для любых двух пунктаў ${\displaystyle x_{1}}$ і ${\displaystyle x_{2}}$ такіх, што ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$, спраўджваецца ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$.

Кожная раўнамерна непарыўная на мностве ${\displaystyle E}$ функцыя, відавочна, з'яўляецца таксама і непарыўнаю на ім. Адваротнае, увогуле кажучы, не справядліва. Аднак, калі вобласць вызначэння — кампакт, то непарыўная функцыя аказваецца таксама і раўнамерна непарыўнаю на гэтым адрэзку.

Паўнепарыўнасць

Існуе дзве сіметрычныя адна адной уласцівасці — паўнепарыўнасць знізу і паўнепарыўнасць зверху:

• Функцыя ${\displaystyle f}$ называецца паўнепарыўнаю знізу ў пункце ${\displaystyle a}$, калі для любога ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існуе такое наваколле ${\displaystyle U_{E}(a)}$, што ${\displaystyle f(x)>f(a)-\varepsilon }$ для ўсякага ${\displaystyle x\in U_{E}(a)}$;
• Функцыя ${\displaystyle f}$ называецца паўнепарыўнаю зверху ў пункце ${\displaystyle a}$, калі для любога ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існуе такое наваколле ${\displaystyle U_{E}(a)}$, што ${\displaystyle f(x)<f(a)+\varepsilon }$ для ўсякага ${\displaystyle x\in U_{E}(a)}$.

Паміж непарыўнасцю і паўнепарыўнасцю ёсць наступная сувязь:

• Калі ўзяць функцыю ${\displaystyle f}$, непарыўную ў кропцы ${\displaystyle a}$, і паменшыць значэнне ${\displaystyle f(a)}$ (на канечную велічыню), то мы атрымаем функцыю, паўнепарыўную знізу ў кропцы ${\displaystyle a}$;
• Калі ўзяць функцыю ${\displaystyle f}$, непарыўную ў кропцы ${\displaystyle a}$, і павялічыць значэнне ${\displaystyle f(a)}$ (на канечную велічыню), то мы атрымаем функцыю, паўнепарыўную зверху ў кропцы ${\displaystyle a}$.

У адпаведнасці з гэтым можна дапусціць для паўнепарыўных функцый бесканечныя значэнні:

• Калі ${\displaystyle f(a)=-\infty }$, то будзем лічыць такую функцыю паўнепарыўнаю знізу ў кропцы ${\displaystyle a}$;
• Калі ${\displaystyle f(a)=+\infty }$, то будзем лічыць такую функцыю паўнепарыўнаю зверху ў кропцы ${\displaystyle a}$.

Аднабаковая непарыўнасць

Функцыя ${\displaystyle f}$ называецца аднабакова непарыўнаю злева (справа) у кожным пункце ${\displaystyle x_{0}}$ сваёй вобласці вызначэння, калі для справядліва роўнасць:

${\displaystyle f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}-0}f(x)}$

${\displaystyle \left(f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}+0}f(x)\right)}$

Непарыўнасць амаль усюды

На рэчаіснай прамой звычайна разглядаецца простая лінейная . Калі функцыя ${\displaystyle f}$ такая, што яна непарыўная ўсюды на ${\displaystyle E}$, акрамя, магчыма, мноства меры нуль, то такая функцыя называецца непарыўнаю амаль усюды.

У тым выпадку, калі мноства пунктаў разрыву функцыі не больш чым злічальнае, мы атрымліваем клас інтэгравальных па Рыману функцый (гл. крытэрый інтэгравальнасці функцыі па Рыману).