Паралелаграм

Паралелагра́м (ад грэц. parallelos — паралельны і gramme — лінія) — гэта чатырохвугольнік, у якога процілеглыя бакі парамі паралельныя, г. зн. ляжаць на паралельных прамых. Прамавугольнік, ромб і квадрат з'яўляюцца асобнымі выпадкамі паралелаграма.

Паралелаграм

Асаблівасці

• Процілеглыя бакі паралелаграма роўныя

  ${\displaystyle |AB|=|CD|}$, ${\displaystyle |AD|=|BC|}$.

• Процілеглыя вуглы паралелаграма роўныя

  ${\displaystyle \angle A=\angle C,\angle B=\angle D.}$

• Дыяганалі паралелаграма перасякаюцца і пунктам скрыжавання палавіняцца

  ${\displaystyle |AO|=|OC|}$, ${\displaystyle |BO|=|OD|}$.

• Сума вуглоў, прылеглых да аднаго боку, роўная 180°.
• Сума квадратаў дыяганаляў паралелаграма роўная суме квадратаў яго чатырох бакоў

  ${\displaystyle |AC|^{2}+|BD|^{2}=|AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}.}$

Доказы  

Правядучы дыяганаль ''BD'', мы атрымаем два трохвугольніка ''ABD'' і ''BCD'', якія роўныя, бо адзін бок у іх агульны, а адпаведныя вуглы пры боку ''BD'' роўныя як накрыж ляжалыя пры паралельных прамых ''AB''||''CD'', ''BC''||''AD'', дзе ''BD'' - сечная. З роўнасці трохвугольнікаў следуе: |''AB''|=|''CD''|, |''AD''|=|''BC''| і ∠''A'' = ∠''З''. Процілеглыя вуглы ∠''B'' і ∠''D'' таксама роўныя, т.к. яны ўяўляюць сабою сумы роўных вуглоў. Нарэшце, вуглы, прылеглыя да аднаго боку, напрыклад ∠''A'' і ∠''D'', даюць у суме 180°, бо гэтыя вуглы ўнутраныя аднабаковыя пры паралельных прамых.

Прыкметы паралелаграма

Чатырохвугольнік ABCD з'яўляецца паралелаграмам, калі выконваецца адна з наступных умоў:

1. Процілеглыя бакі парамі роўныя (|AB| = |CD|, |AD| = |BC|).
2. Процілеглыя вуглы парамі роўныя (∠A = ∠C, ∠B = ∠D).
3. Два процілеглыя бакі роўныя і паралельныя (|AB| = |CD|, AB || CD).
4. Дыяганалі дзеляцца ў пункце іх скрыжавання напалову (|AO| = |OC|, |BO| = |OD|).

Доказы  

• Хай чатырохвугольнік ''ABCD'' такі што: |''AB''| = |''CD''| і |''BC''| = |''AD''|. Правядзем дыяганаль ''BD'', мы атрымаем два трохвугольніка, якія роўныя, бо ў іх ''BD'' - агульны бок, |''AB''| = |''CD''| і |''BC''| = |''AD''| (з умовы). З роўнасці гэтых трохвугольнікаў следуе: ∠''ABD'' = ∠''BDC'' і ∠''ABD'' = ∠''CBD'' і з прычыны гэтага ''AB''||''CD'' і ''BC''||''AD''.
• Хай чатырохвугольнік ''ABCD'' такі што: ''BC'' || ''AD'' і |''BC''| = |''AD''|. Трохвугольнікі ''ABC'' і ''CDA'' роўныя (гл папярэдні доказ) => ∠''BAC'' = ∠''DCA''. Такім чынам ''AB''||''CD''.

Плошча

Плошчу паралелаграма можна знайсці па наступных формулах:

${\displaystyle S_{ABCD}=|AD|\cdot h_{AD}=|AB|\cdot |AD|\sin \alpha ={\frac {1}{2}}|AC|\cdot |BD|\sin \beta .}$

Гл. таксама

• Трапецыя
• Прамавугольнік
• Ромб
• Дэльтоід