Пі

Лік π (чытаецца як «пі») — , адносіна даўжыні акружнасці да яе дыяметра, прыблізна роўная 3,14159. Абазначаецца грэчаскай літарай «пі».

Разгортка акружнасці і лік π

π — ірацыянальны лік, і таму яго нельга дакладна запісаць звычайным дробам. Аднак дробы, напрыклад, такія як 22/7, 3,14 і некаторыя іншыя рацыянальныя лікі, даволі часта выкарыстоўваюцца як прыбліжэнні ліку π. ліку π ніколі не заканчваецца і ніколі не становіцца . Лічбы выглядаюць выпадкова размеркаванымі, аднак доказаў, што гэта сапраўды так, дагэтуль няма.

π — трансцэндэнтны лік, г. зн. ён не можа быць коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Адсюль, сярод іншага, вынікае, што развязаць антычную праблему з дапамогай цыркуля і лінейкі немагчыма.

Упершыню лік ${\displaystyle \pi }$ з'явіўся ў геаметрыі пры вывучэнні адносін даўжыні і радыуса акружнасці. Тысячы гадоў матэматыкі даследавалі лік π, у тым ліку вылічваючы яго значэнне з высокаю дакладнасцю. Да 15-га стагоддзя для ацэнкі значэння π матэматыкі (напрыклад, Архімед і ) карысталіся геаметрычнымі метадамі, заснаванымі на многавугольніках. Пачынаючы прыблізна з 15-га стагоддзя, новыя алгарытмы, заснаваныя на бесканечных радах, карэнным чынам змянілі ўзровень вылічэнняў π. У 20—21 стст. матэматыкі і інфарматыкі вынайшлі новыя падыходы, што разам з нарастаннем вылічальных магутнасцей павялічыла колькасць вядомых дзесятковых лічб π да больш чым 10 трыльёнаў (10¹³) (на канец 2011 г.). Навуковыя прыкладанні, як правіла, патрабуюць не больш за 40 лічб π, так што галоўнаю прычынаю гэтых вылічэнняў з'яўляецца чалавечае жаданне пабіць рэкорды. Акрамя таго, гэтыя працаёмкія вылічэнні выкарыстоўваліся пры тэсціраванні суперкамп’ютараў і алгарытмаў множання высокай дакладнасці.

Грэчаскай літарай ${\displaystyle \pi }$ гэту пастаянную ўпершыню абазначыў брытанскі матэматык (1706), а агульнапрынятым такое абазначэнне стала пасля прац Леанарда Эйлера. Абазначэнне паходзіць ад пачатковай літары грэчаскіх слоў περιφέρεια — акружнасць, перыферыя і περίμετρος — перыметр.

З тае прычыны, што азначэнне ліку π звязана з акружнасцю, ён уваходзіць у многія формулы ў трыганаметрыі і геаметрыі, асабліва ў тыя, што датычацца акружнасцей, эліпсаў і сфер. Ён таксама сустракаецца ў формулах з іншых галін навукі, такіх як касмалогія, тэорыя лікаў, статыстыка, , тэрмадынаміка, механіка і электрамагнетызм. Паўсюднасць ліку π робіць яго адною з самых знакамітых матэматычных сталых як сярод навуковай супольнасці, так і па-за ёю: ліку прысвечана некалькі кніг, у гонар ліку ўстаноўлены Дзень Пі, рэкордныя вылічэнні лічбаў π часта трапляюць у загалоўкі навін. Спробы запомніць лічбы π з нарастаннем дакладнасці прывялі да рэкордаў у больш чым 67,000 лічб.

Асноўныя звесткі

Абазначэнне

У матэматыцы адносіну даўжыні акружнасці да яе дыяметра абазначаюць грэчаскаю літараю π (вымаўляецца «пі»), якая часам, асабліва калі недаступны адпаведныя шрыфты, запісваецца спалучэннем лацінскіх літар як «pi». У матэматычным ужытку, маленкая літара π адрозніваецца ад вялікай літары Π, якая абазначае здабытак элементаў паслядоўнасці.

Азначэнне

Акружнасць трохі больш чым у тры разы даўжэйшая за свой дыяметр. Дакладная адносіна называецца π.

Лік π звычайна вызначаюць як адносіну даўжыні акружнасці C да яе дыяметра d :

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$

Адносіна C/d ёсць сталая велічыня, незалежная ад памераў круга. Напрыклад, калі адзін круг мае дыяметр, удвая большы чым у другога, то і даўжыня акружнасці першага будзе ўдвая большая чым у другога, пры гэтым значэнне адносіны C/d захоўваецца. Такое адзначэнне ліку π няяўна выкарыстоўвае плоскую (еўклідаву) геаметрыю; хаця паняцці круга і акружнасці можна пашырыць на любую , для гэтых новых кругаў формулу π = C/d ўжо не будзе справядліваю. Ёсць таксама іншыя азначэнні ліку π, у якіх кругі не выкарыстоўваюцца ўвогуле. Напрыклад, π — гэта падвоенае значэнне найменшага дадатнага ліку x, для якога cos(x) раўняецца 0.

Уласцівасці

π — ірацыянальны лік, г. зн. яго нельга запісаць у выглядзе адносіны двух цэлых лікаў (такія дробы, як 22/7, звычайна выкарыстоўваюцца ў якасці прыбліжэнняў π; ніякі звычайны дроб (дзель цэлых лікаў) не можа быць дакладным значэннем π). Раз π ірацыянальны, то ў яго бесканечна многа ненулявых лічб, пры гэтым паслядоўнасць лічб не становіцца . Ёсць некалькі ; як правіла, у іх выкарыстоўваецца матэматычны аналіз, і яны пабудаваны на метадзе . Ступень, з якою можна прыблізіць лік π рацыянальнымі лікамі, (т. зв. ) дакладна невядомая; ацэнкі паказваюць, што мера ірацыянальнасці ліку π большая чым у лікаў e і ln(2), але меншая чым у .

З прычыны трансцэндэнтнасці ліку π, немагчыма за канечны лік крокаў.

π — трансцэндэнтны лік, г. зн. што ён не з'яўляецца нулём ніякага непастаяннага мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі, напрыклад, такога як ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {x^{5}}{120}}\,-\,{\frac {x^{3}}{6}}\,+\,x\,=\,0}$. Трансцэндэнтнасць ліку π мае два важныя вынікі: першы, лік π нельга выразіць ніякаю канечнаю камбінацыяй рацыянальных лікаў і з цэлымі паказчыкамі, напрыклад, такіх як ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{3}]{31}}}$ ці ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{2}]{10}}.}$ Другі, паколькі ніякі трансцэндэнтны лік нельга , развязаць задачу «» немагчыма. Іншымі словамі, немагчыма пабудаваць, карыстаючыся толькі цыркулем і лінейкаю, квадрат з плошчаю, роўнаю плошчы зададзенага круга. Квадратура круга была адною з самых значных геаметрычных праблем . У наш час матэматыкі-любіцелі часам спрабавалі пабудаваць квадратуру круга і іншы раз заяўлялі аб поспеху, нягледзячы на тое, што гэта немагчыма.

Лічбы ліку π не маюць яўнай заканамернасці і праходзяць тэсты на , у тым ліку і тэсты на (лік, які запісваецца бесканечнай колькасцю лічб, называецца нармальным, калі ўсе магчымыя паслядоўнасці лічб (любой зададзенай даўжыні) трапляюцца аднолькава часта). Гіпотэза, што лік π нармальны, не даказана, але і не абвергнута. З прыходам камп'ютараў для статыстычнага аналізу стала даступна вялікая колькасць лічб π. правёў падрабязны статыстычны аналіз дзесятковых лічб ліку π і зрабіў вывад, што іх паводзіны не супярэчаць нармальнасці; напрыклад, частоты лічбаў ад 0 да 9 былі , і ніякіх прыкмет заканамернасці знойдзена не было. Нягледзячы на тое, што лічбы π праходзяць тэсты на выпадковасць, π утрымлівае некаторыя паслядоўнасці лічбаў, якія для нематэматыкаў здаюцца невыпадковымі, напрыклад, пункт Фейнмана — група з шасці паслядоўных дзявятак, якая пачынаецца на 762-ым разрадзе ў дзесятковым запісе ліку π.

Непарыўныя дробы

Пастаянная π. Мазаіка ў двары будынка матэматычнага факультэта ў Берлінскім тэхнічным універсітэце.

Як і ўсе ірацыянальныя лікі, π нельга прадставіць у выглядзе звычайнага дробу. Але любы ірацыянальны лік, уключаючы π, можна прадставіць бесканечным ланцугом укладзеных дробаў, т. зв. непарыўным дробам:

${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

 A001203

Абрыў непарыўнага дробу ў любой кропцы спараджае звычайны дроб — прыбліжэнне ліку π; два такія (звычайныя) дробы (22/7 і 355/113) гістарычна выкарыстоўваліся ў якасці прыбліжэння пастаяннай. Кожнае прыбліжэнне, атрыманае такім шляхам, з'яўляецца найлепшым рацыянальным прыбліжэннем; г.зн. кожнае з іх бліжэйшае да π чым любы іншы дроб з такім жа ці меншым назоўнікам. Хаця просты непарыўны дроб для π (паказаны вышэй) не праяўляе заканамернасці, матэматыкі знайшлі некалькі , якія маюць празрыстую заканамернасць, напрыклад:

${\displaystyle \pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

Прыблізнае значэнне

π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Некаторыя :

• Звычайныя дробы (у парадку нарастання дакладнасці): 227, 333106, 355113, 5216316604, 10399333102, і 24585092278256779 . (Спіс складзены з выбраных членаў паслядоўнасцей  A063674 і  A063673.)
• Дзесятковы дроб: Першыя 100 дзесятковых лічбаў 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899 A000796
• Двайковы дроб: запіс па 2 да 48 лічбаў 11,001001000011111101101010100010001000010110100011...
• Шаснаццатковы дроб: запіс па 16 да 20 лічбаў 3,243F6A8885A308D31319...
• : па аснове 60 прыбліжэнне да чатырох шасцідзесятковых лічбаў 3;8,29,44,1

Прыбліжэнні, якімі карысталіся старажытныя навукоўцы:

• ${\displaystyle {\frac {22}{7}}}$ (Архімед),
• ${\displaystyle {\frac {377}{120}}}$ (прыведзена ў кнізе індыйскага мысліцеля і астранома Арыябхаты у 5 стагоддзі н.э.),
• ${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$ (прыбліжэнне прыпісваецца старажытнакітайскаму астраному , сучасніку Арыябхаты).

Суадносіны

Вядома шмат формул для ліку ${\displaystyle \pi }$:

• Франсуа Віет, 1593:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots }$

• Рад Лейбніца:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

• Тоеснасць Эйлера:

${\displaystyle e^{\pi i}+1=0\;}$

Спосабы вылічэння

Прынцып Архімеда

Архімед, магчыма, першым прапанаваў спосаб вылічэння ліку ${\displaystyle \pi }$ як граніцы. Для гэтага ён упісваў у акружнасць і апісваў каля яе правільныя многавугольнікі. Прымаючы дыяметр акружнасці за адзінку, Архімед разглядаў перыметр упісанага многавугольніка як ніжнюю ацэнку даўжыні акружнасці, а перыметр апісанага многавугольніка як верхнюю ацэнку. Так, для шасцівугольніка (гл. малюнак) атрымліваецца ${\displaystyle 3<\pi <2{\sqrt {3}}.}$

Разглядаючы правільны 96-вугольнік, Архімед атрымаў ацэнку ${\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.}$

У Новы час для вылічэння ${\displaystyle \pi }$ выкарыстоўваюцца аналітычныя метады, заснаваныя на тоеснасцях. Прыведзеныя вышэй формулы малапрыдатныя для вылічальных мэт, бо ў іх або выкарыстоўваюцца павольна збежныя рады, або трэба выконваць складаную аперацыю здабывання квадратнага кораня.

Першую эфектыўную формулу знайшоў у 1706 (John Machin):

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\mathrm {arctg} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} {\frac {1}{239}}}$

Расклаўшы арктангенс у рад Тэйлара, можна атрымаць хутка збежны рад, прыдатны для вылічэння ліку ${\displaystyle \pi }$ з вялікай дакладнасцю.

Яшчэ хутчэй працуюць алгарытмы, заснаваныя на формулах Рамануджана

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}\,396^{4k}}}}$

і Чудноўскага

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}\,640320^{3k+3/2}}}}$

У 1997 Дэйвід Х. Бэйлі, Пітэр Боруэйн і Сайман Плуф адкрылі спосаб хуткага вылічэння адвольнай двайковай лічбы ліку ${\displaystyle \pi }$ без вылічэння папярэдніх лічб, заснаваны на формуле

${\displaystyle \pi =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{i}}}\left({\frac {4}{8i+1}}-{\frac {2}{8i+4}}-{\frac {1}{8i+5}}-{\frac {1}{8i+6}}\right)}$

Нявырашаныя праблемы

• Невядома, ці з'яўляюцца лікі ${\displaystyle \pi }$ і ${\displaystyle e}$ .
• Невядомая дакладная для лікаў ${\displaystyle \pi }$ і ${\displaystyle \pi ^{2}}$ (але вядома, што для ${\displaystyle \pi }$ яна не перавышае 7,6063).
• Невядомая мера ірацыянальнасці ні для аднаго з наступных лікаў: ${\displaystyle \pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},\ln \pi ,\pi ^{\pi },e^{\pi ^{2}}.}$. Ні для аднаго з іх невядома нават, ці з'яўляецца ён рацыянальным лікам, алгебраічна ірацыянальным або трансцэндэнтным лікам.
• Невядома, ці з'яўляецца ${\displaystyle {^{n}\pi }}$ цэлым лікам пры якім-небудзь дадатным цэлым ${\displaystyle n}$. Невядома нават, ці з'яўляецца ${\displaystyle {^{4}\pi }=\pi ^{\pi ^{\pi ^{\pi }}}}$ цэлым.
• Невядома, ці належыць ${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}}$ да кальца перыядаў  (руск.).
• Дагэтуль нічога невядома аб нармальнасці  (руск.) ліку ${\displaystyle \pi }$; невядома нават, якія з лічбаў 0-9 сустракаюцца ў дзесятковым прадстаўленні ліку ${\displaystyle \pi }$ бесканечную колькасць разоў.

Метад іголкі Бюфона

На разлінееную роўнааддаленымі прамымі плоскасць адвольна кідаецца іголка, даўжыня якой роўная адлегласці паміж суседнімі прамымі, так што пры кожным кіданні іголка альбо не перасякае прамыя, альбо перасякае роўна адну. Можна даказаць, што адносіна колькасці перасячэнняў іголкі з якой-небудзь лініяй да агульнай колькасці кідкоў імкнецца да ${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}}$ пры павелічэнні колькасці кідкоў да бесканечнасці. Дадзены метад іголкі грунтуецца на тэорыі імавернасцей і ляжыць у аснове метаду Монтэ-Карла.

Цікава ведаць

Сусветны рэкорд па запамінанні знакаў ліку Пі належыць японцу Акіры Харагучы (Akira Haraguchi). Ён запомніў лік Пі да 100-тысячнага знака пасля коскі. Яму спатрэбілася амаль 16 гадзін, каб назваць увесь лік цалкам.

Неафіцыйнае свята

Неафіцыйнае свята «Дзень ліку Пі» (Pi Day) адзначаецца 14 сакавіка, якое ў амерыканскім запісваецца як 3.14, што адпавядае набліжанаму значэнню Пі.

Яшчэ адной датай, звязанай з лікам Пі, з'яўляецца 22 ліпеня, якое называецца «Днём прыбліжанага ліку Пі» (Pi Approximation Day), бо ў еўрапейскім фармаце дат гэты дзень запісваецца як 22/7, а значэнне гэтага дробу з'яўляецца набліжаным значэннем ліку Пі.

Зноскі

1. «Round 2… 10 Trillion Digits of Pi», NumberWorld.org, 17 Oct 2011. Retrieved 30 May 2012.
2. Arndt & Haenel 2006, p. 8
3. Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X., p 183.
4. Arndt & Haenel 2006, p. 5
5. Salikhov, V. (2008). "On the Irrationality Measure of pi". Russian Mathematical Survey. 53 (3): 570. :2008RuMaS..63..570S. :10.1070/RM2008v063n03ABEH004543. ISSN 0036-0279.
6. Mayer, Steve. The Transcendence of π (нявызн.)(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 29 верасня 2000. Праверана 4 November 2007.
7. Упамянуты мнагачлен — гэта некалькі пачатковых членаў раскладання функцыі сінуса ў рад Тэйлара.
8. Posamentier & Lehmann 2004, p. 25
9. Eymard & Lafon 1999, p. 129
10. Beckmann 1989, p. 37
    Schlager, Neil; Lauer, Josh (2001). Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery. Gale Group. ISBN 0-7876-3933-8., p 185.
11. Arndt & Haenel 2006, pp. 22–23
    (23 July 2001). "Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key". Lawrence Berkeley National Laboratory. Архівавана з арыгінала 20 кастрычніка 2007. Праверана 10 November 2007.
12. Arndt & Haenel 2006, pp. 22, 28–30
13. Arndt & Haenel 2006, p. 3
14. Eymard & Lafon 1999, p. 78
15. (ed.). "Sequence A001203 (Continued fraction for Pi)". The . OEIS Foundation. Retrieved 12 April 2012.
16. Lange, L. J. (1999). "An Elegant Continued Fraction for π". . 106 (5): 456–458. :10.2307/2589152.  2589152. {{cite journal}}: Невядомы параметр |month= ігнараваны ()
17. Arndt & Haenel 2006, p. 240
18. Arndt & Haenel 2006, p. 242
19. David Bailey, Peter Borwein and Simon Plouffe. On the rapid computation of various polylogarithmic constants (англ.). Архівавана з першакрыніцы 17 красавіка 2007.
20. Weisstein, Eric W.. Мера ірацыянальнасці (нявызн.). MathWorld.
21. Weisstein, Eric W.. Pi (нявызн.). MathWorld.
22. en:Irrational number#Open questions
23. Some unsolved problems in number theory
24. Weisstein, Eric W.. Трансцендентное число (нявызн.). MathWorld.
25. An introduction to irrationality and transcendence methods Архівавана 17 мая 2013.
26. Обман или заблуждение? Архівавана 30 студзеня 2012. Квант № 5 1983 год
27. Г. А. Гальперин. Биллиардная динамическая система для числа пи Архівавана 13 чэрвеня 2014..

Літаратура

• А. В. Жуков, «О числе π». М.: МЦМНО, 2002 г., 32 з. ISBN 5-94057-030-5
• Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. Праверана 2013-06-05. English translation by Catriona and David Lischka.
• Ayers, Frank (1964). Calculus. McGraw-Hill. ISBN 978-0-070-02653-7.
• Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1997). Pi: a Source Book. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20571-7.
• Beckmann, Peter (1989) [1974]. History of Pi. St. Martin's Press. ISBN 978-0-88029-418-8.
• Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1987). Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley. ISBN 978-0-471-31515-5.
• Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). A History of Mathematics (2 ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Bronshteĭn, Ilia; Semendiaev, K. A. (1971). A Guide Book to Mathematics. H. Deutsch. ISBN 978-3-871-44095-3.
• Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre (1999). The Number Pi. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3246-2., English translation by Stephen Wilson.
• Joseph, George Gheverghese (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13526-7. Праверана 2013-06-05.
• Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-200-8.
• Reitwiesner, George (1950). "An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places". Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 4 (29): 11–15. :10.2307/2002695.
• Roy, Ranjan (1990). "The Discovery of the Series Formula for pi by Leibniz, Gregory, and Nilakantha". Mathematics Magazine. 63 (5): 291–306. :10.2307/2690896.
• Schepler, H. C. (1950). "The Chronology of Pi". Mathematics Magazine. 23 (3). Mathematical Association of America: 165–170 (Jan/Feb), 216–228 (Mar/Apr), and 279–283 (May/Jun). :10.2307/3029284.. issue 3 Jan/Feb, issue 4 Mar/Apr, issue 5 May/Jun

Спасылкі

• На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Пі
• Лік ${\displaystyle \pi }$ з дакладнасцю да 4 мільёнаў знакаў пасля коскі Архівавана 9 сакавіка 2008.
• Лік ${\displaystyle \pi }$ з дакладнасцю да 5 мільёнаў знакаў пасля коскі(недаступная спасылка)
• Трыльён знакаў ліку ${\displaystyle \pi }$ (у zip-архівах) Архівавана 3 кастрычніка 2011.
• Зона ПІ на Кавуне
• Pi-memory Архівавана 19 сакавіка 2008.