Мера мноства

У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Мера.

Мера мноства — неадмоўная велічыня, якую можна інтуітыўна разумець як памер (аб'ём) мноства. Уласна, мера — гэта некаторая , якая ставіць у адпаведнасць кожнаму мноству (з некаторага сямейства мностваў) некаторы неадмоўны лік. Акрамя неадмоўнасці мера, як функцыя, павінна быць адытыўнаю — мера аб'яднання неперасякальных мностваў павінна раўняцца суме іх мер. Трэба адзначыць, што не ўсякае мноства вымернае — для кожнай функцыі меры звычайна падразумяваецца некаторае сямейства мностваў (якія называюцца вымернымі па дадзенай меры), для якіх мера існуе.

Асобным выпадкам меры з'яўляецца для падмностваў ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, якая абагульняе паняцце аб'ёму (n = 3), плошчы (n = 2) ці даўжыні (n = 1) на выпадак мностваў, больш агульных, чым проста абмежаваныя гладкаю паверхняй.

Азначэнні

Няхай ${\displaystyle X}$ — мноства з некаторым выдзеленым класам падмностваў ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Звычайна лічаць, што гэты клас падмностваў утварае (іншы раз ці алгебру).

Функцыя ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {F}}\to [0,\;\infty ]}$ называецца мерай (іншы раз аб'ёмам), калі яна адпавядае наступным аксіёмам:

1. Пустое мноства мае нулявую меру:

   ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0;}$

2. Адытыўнасць (а дакладней, канечная адытыўнасць): мера аб'яднання неперасякальных мностваў раўняецца суме мер гэтых мностваў.

   Г.зн. для любых ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}},}$ такіх што ${\displaystyle A\cap B=\varnothing ,}$ справядліва роўнасць:

   ${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$

Першая аксіёма зручная, але ў пэўнай ступені «лішкавая». Дастаткова дапусціць, што існуе хаця б адно мноства з канечнаю мерай, з чаго будзе вынікаць, што мера пустога мноства будзе роўная нулю (у процілеглым выпадку згодна з другой аксіёмай мера аб'яднання любога мноства M з пустым адрознівалася б ад меры самога мноства M, нягледзячы на тое, што мноства засталося ранейшым).

Непасрэдна з другой аксіёмы вынікае, што мера аб'яднання любога канечнага ліку неперасякальных мностваў раўняецца суме мер гэтых мностваў:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}\mu (A_{i}).}$

Злічальна-адытыўная мера

З (канечнай) адытыўнасці меры ў агульным выпадку не вынікае, што падобная ж уласцівасць справядліва і для злічальнага аб'яднання неперасякальных мностваў. Вылучаюць важны адмысловы клас мер, т.зв. злічальна-адытыўныя меры.

Няхай ${\displaystyle X}$ — мноства з выбранай σ-алгебрай ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Функцыя ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {F}}\to [0,\;\infty ]}$ называецца злічальна-адытыўнаю (ці σ-адытыўнаю) мерай, калі яна задавальняе наступныя аксіёмы:

1. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$
2. σ-адытыўнасць: калі ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$ — злічальнае сямейства папарна неперасякальных мностваў з ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ (г.зн. ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\neq j}$), то

   ${\displaystyle \mu \left(\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n}).}$

Заўвагі

• Калі яўна не сказана адваротнае, звычайна пад мераю разумеюць злічальна-адытыўную меру.
• Відавочна, любая злічальна-адытыўная мера з'яўляецца канечна-адытыўнаю, але не наадварот.
• Калі мера ўсяе прасторы канечная, г.зн. ${\displaystyle \mu (X)<\infty ,}$ то такая мера сама называецца канечнаю. У процілеглым выпадку меру называюць бесканечнаю.

Вымерныя і невымерныя мноствы

• Звычайна вымерныя адносна пэўнай меры мноствы ўтвараюць уласны падклас у класе ўсіх падмностваў прасторы X. І хоць існуе некалькі агульных схем пашырэння меры на большыя класы вымерных мностваў, часам пашырэнне меры магчыма толькі цаной страты некаторых ўласцівасцей зыходнай меры. Напрыклад, ў канечнамерных еўклідавых прасторах не змяняецца пры рухах гэтай прасторы. Усякае пашырэнне меры Лебега на клас усіх падмностваў еўклідавай прасторы ўжэ не можа быць інварыянтным (захоўваць значэнне меры) нават пры адных толькі зрухах (гл. ). Так што на практыцы такія пашырэнні мала чаго вартыя.

Звязаныя паняцці

• Тройка ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ называецца прасторай з мерай, калі ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ёсць , а ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R} }$ — вызначаная на ім мера.
• Калі ${\displaystyle \mu }$ ёсць імавернасная мера, то такая прастора з мерай называецца імавернаснаю прасторай.

Уласцівасці

З азначэння вынікае, што мера мае наступныя ўласцівасці (пры гэтым маецца на ўвазе, што мера зададзена на некаторым мностваў):

• Мера пустога мноства роўная нулю

  ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$

  • Гэта ўласцівасць або ўваходзіць у азначэнне меры ў якасці аксіёмы, або вынікае з дапушчэння, што існуе хаця б адно мноства, мера якога канечная. Непасрэдна з гэтага і вынікае, што мера пустога мноства павінна раўняцца нулю (іначай дабаўленне пустога мноства да мноства канечнай меры павялічыць меру гэтага мноства, хоць мноства пры гэтым не зменіцца). Выпадак бесканечнасці меры ўсіх мностваў не змястоўны і не мае практычнага сэнсу. Таму наяўнасць мностваў канечнай меры дапускаецца з самага пачатку.
  • З роўнасці меры мноства нулю, ўвогуле кажучы, не вынікае, што гэта мноства пустое. Прынята гаварыць пра мноствы меры нуль.

• Манатоннасць — мера падмноства не большая за меру самога мноства

  ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leqslant \mu (B)}$

  Гэта інтуітыўна зразумелая ўласцівасць — чым «меншае» мноства, тым меншы яго «памер».

• Мера рознасці ўложаных мностваў роўная рознасці мер гэтых мностваў

  ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mu (B\backslash A)=\mu (B)-\mu (A)}$

• Мера сумы (аб'яднання) двух адвольных мностваў роўная суме мер гэтых мностваў мінус мера іх перасячэння:

  ${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B).}$

  Адсюль, відавочна, вынікае, што мера аб'яднання адвольных мностваў не большая за суму мер гэтых мностваў:

  ${\displaystyle \mu (A\cup B)\leqslant \mu (A)+\mu (B).}$

Уласцівасці злічальна-адытыўных мер

Злічальна-адытыўныя меры, акрамя вышэйназваных, маюць наступныя дадатковыя ўласцівасці.

• Непарыўнасць: мера граніцы бесканечнай паслядоўнасці ўложаных мностваў раўняецца граніцы паслядоўнасці мер гэтых мностваў:

  ${\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \dots \supseteq A=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=\mu (A).}$

  Тут лічыцца, што мера першага мноства канечная.

• Такая ж уласцівасць справядліва і для «адваротнай» паслядоўнасці мностваў:

  ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \dots \subseteq A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=\mu (A).}$

• Злічальная манатоннасць азначае, што мера падмноства злічальнага аб'яднання мностваў не большая за суму мер гэтых мностваў:

  ${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\Rightarrow \mu (A)\leqslant \sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).}$

Прыклады

• Мера Жардана — прыклад канечна-адытыўнай меры.
• — прыклад злічальна-адытыўнай меры.
• Імавернасць — прыклад канечнай меры.
• Мера Хаусдорфа
• можна вызначыць як канечна-адытыўную меру са значэннямі ў мностве з двух элементаў ${\displaystyle \{0,1\}}$

Пашырэнне мер

Вызначаць меру яўным чынам на кожным мностве з адпаведнае сігма-алгебры (колца ці алгебры) мностваў даволі нязручна, але, як правіла, гэта і не трэба, бо меру дастаткова вызначыць на яком-небудзь класе вымерных мностваў, а затым з дапамогай стандартных працэдур (і пры вядомых умовах) пашырыць на колца, алгебру ці сігма-алгебру мностваў, пароджаныя гэтым класам.

Працяг з паўколца

Клас па сваёй структуры павінен быць колцам мностваў (калі мера адытыўная) ці сігма-алгебрай мностваў (калі мера злічальна-адытыўная), але для вызначэння меры, у абодвух выпадках яе дастаткова вызначыць на паўколцы мностваў — тады меру можна адназначным чынам пашырыць на мінімальнае колца (мінімальную сігма-алгебру) мностваў, якое змяшчае зыходнае паўколца.

Няхай пачатковы клас вымерных мностваў ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ мае структуру паўколца: змяшчае пустое мноства і для любых мностваў A і B з ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ іх рознасць дапускае канечнае разбіццё на вымерныя мноствы з ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0},}$ г.зн. знойдзецца канечны набор неперасякальных мностваў ${\displaystyle C_{1},C_{2},...,C_{n}}$ з ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0},}$ такіх што

${\displaystyle A\setminus B=C_{1}\cup C_{2}\cup \dots \cup C_{n}.}$

Няхай ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — клас усіх падмностваў разглядаемай прасторы, якія дапускаюць канечнае разбіццё на мноствы з ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}.}$ Клас ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ замкнуты адносна аперацый рознасці, перасячэння і аб'яднання мностваў, і такім чынам, з'яўляецца колцам мностваў, якое ўтрымлівае ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ (прычом, відавочна, найменшым). Усякая адытыўная функцыя ${\displaystyle \mu }$ на ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ адназначна працягваецца да адытыўнай функцыі на ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ калі і толькі калі яе значэнні ўзгоднены на ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$. Гэта патрабаванне азначае, што для любых набораў неперасечных мностваў ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}$ і ${\displaystyle B_{1},B_{2},...,B_{m}}$ з ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$, калі супадае іх аб'яднанне, то павінна супадаць і сума іх мер:

Калі ${\displaystyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcup \limits _{j=1}^{m}B_{j}}$, то ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\mu (A_{i})=\sum \limits _{j=1}^{m}\mu (B_{j}).}$

Прыклад

Няхай ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ — класы вымерных мностваў на прасторах ${\displaystyle X_{1}}$ і ${\displaystyle X_{2}}$, якія маюць структуру паўколца. Мноствы выгляду ${\displaystyle A\times B,}$ дзе ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{1},}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{2},}$ утвараюць паўколца ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ мностваў на прасторы ${\displaystyle X=X_{1}\times X_{2}.}$

Калі на ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ вызначаны меры ${\displaystyle \mu _{1}}$ і ${\displaystyle \mu _{2},}$ то на ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ вызначаны адытыўная функцыя ${\displaystyle \mu (A\times B)=\mu _{1}(A)\mu _{2}(B),}$ якая адпавядае патрабаванню ўзгодненасці. Яе працяг на найменшае колца, якое змяшчае ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ называецца ${\displaystyle \mu _{1}}$ і ${\displaystyle \mu _{2}}$ і абазначаецца ${\displaystyle \mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2}.}$ Калі зыходныя меры былі сігма-адытыўныя на сваіх абсягах вызначэння, то і мера ${\displaystyle \mu }$ будзе сігма-адытыўнаю. Такая мера выкарыстоўваецца ў тэорыі кратных інтэгралаў (гл. ).

Варыяцыі і абагульненні

• Тэрмін «мера» можа азначать любую канечна-адытыўную функцыю, абсяг значэнняў якой утварае абелеву паўгрупу. Для злічальна-адытыўнай меры натуральны абсяг значэнняў — тапалагічная абелева паўгрупа (тапалогія патрэбна для таго, каб можна было гаварыць аб збежнасці рада з мер злічальнага ліку вымерных частак, на якія ў азначэнні злічальнай адытыўнасці разбіваецца вымернае мноства).
  • Прыкладам нялікавай меры з'яўляецца мера са значэннямі ў лінейнай прасторы, у прыватнасці, праекцыйназначная мера, якая ўваходзіць у геаметрычную фармулёўку .

Літаратура

• Вулих, Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). — М.: Наука, 1973. — 352 с.
• П. Халмош. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953. — 282 с. http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3787
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа Наука, 1976.
• Богачев В. И. Основы теории меры, 2-е изд., в двух томах, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика. — Москва-Ижевск, 2006.
• В. И. Богачев, О. Г. Смолянов. Действительный и функциональный анализ. Издательства: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009 г. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6.
• Богачев В. И. Гауссовские меры — Наука, Москва, 1997.
• Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика — Москва, 2008.