Матэматыка

Матэма́тыка (стар.-грэч.: μᾰθημᾰτικά < стар.-грэч.: μάθημα — вывучэнне, навука) — дакладная фармальная  (руск.) навука, якая першапачаткова вывучала колькасныя адносіны і прасторавыя формы рэчаіснага свету. Традыцыйна матэматыка лічыцца асаблівай у сваім родзе навукай.

Пачаткі матэматыкі з’явіліся ў глыбокай старажытнасці.

Асноўныя звесткі

Ідэалізаваныя ўласцівасці доследных аб’ектаў альбо фармулююцца ў выглядзе аксіём, альбо пералічваюцца ў азначэнні адпаведных матэматычных аб’ектаў. Затым па строгіх правілах лагічнага вываду з гэтых уласцівасцей выводзяцца іншыя праўдзівыя ўласцівасці (тэарэмы). Гэтая тэорыя ў сукупнасці ўтварае доследнага аб’екта. Такім чынам, першапачаткова, зыходзячы з прасторавых і колькасных суадносін, матэматыка атрымлівае больш абстрактныя суадносіны, вывучэнне якіх таксама з’яўляецца прадметам сучаснай матэматыкі.

Традыцыйна матэматыка дзеліцца на тэарэтычную, якая выконвае паглыблены аналіз унутрыматэматычных структур, і прыкладную, якая прадстаўляе свае мадэлі іншым навукам і інжынерным дысцыплінам, прычым некаторыя з іх займаюць пагранічнае з матэматыкай становішча. У прыватнасці, фармальная логіка можа разглядацца і як частка філасофскіх навук, і як частка матэматычных навук; механіка — і фізіка, і матэматыка; інфарматыка, камп’ютарныя тэхналогіі і алгарытміка адносяцца як да інжынерыі, так і да матэматычных навук і г. д. У літаратуры было прапанавана шмат розных азначэнняў матэматыкі.

Назва

Слова «матэматыка» пайшло ад стар.-грэч.: μάθημα, што азначае вывучэнне, веды, навука, і стар.-грэч.: μαθηματικός, якое першапачаткова азначала ўспрыімлівы, паспяваючы, пазней звязаны з вывучэннем, пасля звязаны з матэматыкай. Між іншым, μαθηματικὴ τέχνη, на латыні ars mathematica, азначае мастацтва матэматыкі. Тэрмін стар.-грэч.: μᾰθημᾰτικά у сучасным значэнні «матэматыка» сустракаецца ўжо ў працах Арыстоцеля (IV ст. да н. э.).

У беларускую мову слова прыйшло праз лацінскую (лац.: mathematica) і старапольскую (польск.: matematyka). У помніках на старабеларускай мове слова «математикъ», ці «математыкъ» сустракаецца ўжо ў канцы XVI — першай палавіне XVII ст.

Падобным шляхам слова «матэматыка» трапіла і ў рускую мову. У тэкстах на рускай мове слова «математика», ці «маѳематика» сустракаецца прынамсі з XVII стагоддзя, напрыклад, у ў «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год).

Азначэнні

Адно з першых азначэнняў прадмета матэматыкі даў Дэкарт:

К вобласці матэматыкі адносяцца толькі тыя навукі, у якіх разглядаецца альбо парадак, альбо мера, і зусім не істотна, ці будуць гэта лікі, фігуры, зоркі, гукі ці нешта іншае, у чым адшукваецца гэтая мера. Такім чынам, павінна існаваць нейкая агульная навука, якая тлумачыць усё што адносіцца да парадку і меры, не ўваходзячы ў даследаванне ніякіх асобных прадметаў, і гэтая навука павінна называцца не замежным, але старым, ужывальным імем Усеагульнай матэматыкі.

У савецкі час класічным лічылася азначэнне з ВСЭ, дадзенае А. М. Калмагоравым:

Матэматыка… навука аб колькасных адносінах і прасторавых формах сапраўднага свету.

Гэта азначэнне Энгельса; праўда, далей Калмагораў тлумачыць, што ўсе выкарыстаныя тэрміны трэба разумець у самым шырокім і абстрактным сэнсе.

Фармулёўка Бурбакі:

Сутнасць матэматыкі… ўяўляецца цяпер як вучэнне аб адносінах паміж аб'ектамі, аб якіх нічога не вядома, акрамя якія апісваюць іх некаторых уласцівасцей, — іменна тых, якія ў якасці аксіём пакладзены ў падмурак тэорыі… Матэматыка ёсць набор абстрактных форм — матэматычных структур.

Герман Вейль песімістычна ацаніў магчымасць даць агульнапрынятае азначэнне прадмета матэматыкі:

Пытанне аб асновах матэматыкі і аб тым, што ўяўляе сабой у канчатковым выніку матэматыка, застаецца адкрытым. Мы не ведаем нейкага напрамку, які дазволіць, у рэшце рэшт, знайсці канчатковы адказ на гэтае пытанне, і ці можна наогул чакаць, што падобны «канчатковы» адказ будзе калі-небудзь атрыманы і прызнаны ўсімі матэматыкамі.

«Матэматызаванне» можа застацца адным з праяўленняў творчай дзейнасці чалавека, падобна музіцыраванню або літаратурнай творчасці, яркім і самабытным, але прагназаванне яго гістарычнага лёсу не паддаецца рацыяналізацыі і не можа быць аб'ектыўным.

Гісторыя

Асноўны артыкул:

Паводле акадэміка А. М. Калмагорова гісторыя матэматыкі дзеліцца на наступныя перыяды:

1. Перыяд зараджэння матэматыкі, на працягу якога назбіраўся дастаткова вялікі фактычны матэрыял;
2. Перыяд элементарнай матэматыкі, які пачынаецца ў VI—V стст. да н. э. і завяршаецца ў канцы XVI ст. («Запас паняццяў, з якімі мела справу матэматыка да пачатку XVII ст., складае і да цяперашняга часу аснову „элементарнай матэматыкі“, якая выкладаецца ў пачатковай і сярэдняй школе»);
3. Перыяд матэматыкі пераменных велічынь, які ахоплівае XVII—XVIII стст., «які можна ўмоўна назваць таксама перыядам „вышэйшай матэматыкі“»;
4. Перыяд сучаснай матэматыкі — матэматыкі XIX—XX стст., у ходзе якога матэматыкам прыйшлося «аднесціся да працэса пашырэння прадмета матэматычных даследаванняў свядома, паставіўшы перад сабою задачу сістэматычнага вывучэння з дастаткова агульнага пункта погляду магчымых тыпаў колькасных адносін і прасторавых форм».

Лічбы мая

Развіццё матэматыкі пачалося разам з тым, як чалавек стаў выкарыстоўваць абстракцыі колькі-небудзь высокага ўзроўню. Простая абстракцыя — лікі; асэнсаванне таго, што два яблыкі і два апельсіны, нягледзячы на ўсе іх адрозненні, маюць нешта агульнае, а іменна займаюць абедзве рукі аднаго чалавека, — якаснае дасягненне мыслення чалавека. Акрамя таго, што старажытныя людзі даведаліся, як лічыць канкрэтныя аб’екты, яны таксама зразумелі, як вылічаць і абстрактныя колькасці, такія, як час: дні, поры года, гады. З элементарнага лічэння натуральным чынам пачала развівацца арыфметыка: складанне, адніманне, множанне і дзяленне лікаў.

Развіццё матэматыкі абапіраецца на пісьменнасць і ўменне запісваць лікі. Напэўна, старажытныя людзі спачатку запісвалі колькасць шляхам малявання рысачак на зямлі ці выдрапвалі іх на драўніне. Старажытныя інкі, не маючы іншай сістэмы пісьменнасці, прадстаўлялі і захоўвалі лікавыя дадзеныя, выкарыстоўваючы складаную сістэму вяровачных вузлоў, так званыя кіпу. Існавала мноства розных сістэм злічэння. Першыя вядомыя запісы лікаў былі знойдзены ў , створаным егіпцянамі Сярэдняга царства. Індская цывілізацыя распрацавала сучасную дзесятковую сістэму злічэння, якая ўключае паняцце нуля.

Гістарычна асноўныя матэматычныя дысцыпліны з’явіліся з-за неабходнасці весці разлікі ў камерцыйнай сферы, пры вымярэнні зямель і для прадказання астранамічных з’яў і, пазней, для рашэння новых фізічных задач. Кожная з гэтых абласцей адыграла вялікую ролю ў шырокім развіцці матэматыкі, якое заключаецца ў вывучэнні , прастор і змен.

Раздзелы матэматыкі

Асноўны артыкул: Раздзелы матэматыкі

1. Матэматыка як навучальная дысцыпліна дзеліцца на , вывучаную ў сярэдняй школе і ўтвораную дысцыплінамі:

• арыфметыка,
• элементарная алгебра
• элементарная геаметрыя: планіметрыя і стэрэаметрыя
• тэорыя элементарных функцый і элементы аналізу

і , вывучаную на нематэматычных спецыяльнасцях ВНУ. Дысцыпліны, што ўваходзяць у склад вышэйшай матэматыкі, вар’іруюцца ў залежнасці ад спецыяльнасці.

Філасофія матэматыкі

Асноўны артыкул:

Мэты і метады

Матэматыка вывучае ўяўныя, ідэальныя аб’екты і суадносіны паміж імі, выкарыстоўваючы фармальную мову. У агульным выпадку матэматычныя паняцці і тэарэмы не абавязкова маюць адпаведнасць чаму-небудзь у фізічным свеце. Галоўнае заданне ўжытковага раздзела матэматыкі — стварыць , досыць адэкватную доследнаму рэальнаму аб’екту. Заданне матэматыка-тэарэтыка — забяспечыць дастатковы набор зручных сродкаў для дасягнення гэтай мэты.

Утрыманне матэматыкі можна вызначыць як сістэму матэматычных мадэляў і прылад для іх стварэння. аб’екта ўлічвае не ўсе яго рысы, а толькі самыя патрэбныя для мэт вывучэння (ідэалізаваныя). Прыкладам, вывучаючы фізічныя ўласцівасці апельсіна, мы можам абстрагавацца ад яго колеру і густу і ўявіць яго (хай не ідэальна дакладнае) шарам. Калі ж нам трэба зразумець, колькі апельсінаў атрымаецца, калі мы складзём разам два і тры, — то можна абстрагавацца і ад формы, пакінуўшы ля мадэлі толькі адну характарыстыку — колькасць. Абстракцыя і ўсталяванне сувязяў паміж аб’ектамі ў самым агульным выглядзе — адзін з галоўных кірункаў матэматычнай творчасці.

Іншы кірунак, разам з абстрагаваннем — . Прыкладам, абагульняючы паняцце «прастора» да прасторы n-вымярэнняў. «Прастора ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, пры ${\displaystyle n>3}$ з’яўляецца матэматычнай выдумкай. Зрэшты, вельмі геніяльнай выдумкай, якая дапамагае матэматычна разбірацца ў складаных з’явах».

Вывучэнне ўнутрыматэматычных аб’ектаў, зазвычай, адбываецца пры дапамозе : спачатку для доследных аб’ектаў фармулююцца спіс асноўных паняццяў і аксіём, а потым з аксіём з дапамогай атрымліваюць змястоўныя тэарэмы, у сукупнасці ўтваральныя матэматычную мадэль.

Падставы

Пытанне існасці і падстаў матэматыкі абмяркоўвалася з часоў Платона. Пачынаючы з XX стагоддзя назіраецца параўнальная згода ў пытанні, што належыць лічыць строгім , аднак адсутнічае згода ў разуменні таго, што ў матэматыцы лічыць спрадвечна праўдзівым. Адсюль выцякаюць нязгоды як у пытаннях аксіёматыкі і ўзаемасувязі галін матэматыкі, гэтак і ў выбары лагічных сістэм, якімі варта пры довадах карыстацца.

Апроч скептычнага, вядомыя ніжэйпералічаныя падыходы да дадзенага пытання.

Тэарэтыка-множны падыход

Асноўны артыкул: Тэорыя мностваў

Прапануецца разглядаць усе матэматычныя аб’екты ў рамках тэорыі мностваў, найчасцей з (хоць існуе мноства іншых, раўназначных ёй). Дадзены падыход лічыцца з сярэдзіны XX стагоддзя пераважным, аднак у рэчаіснасці большасць матэматычных прац не ставяць заданняў перавесці свае сцверджанні строга на мову тэорыі мностваў, а аперуюць паняццямі і фактамі, усталяванымі ў некаторых абласцях матэматыкі. Такім чынам, калі ў тэорыі мностваў будзе выяўлена супярэчнасць, гэта не пацягне за сабой абясцэньванне большасці вынікаў.

Лагіцызм

Асноўны артыкул:

Дадзены падыход мяркуе строгую матэматычных аб’ектаў. Многія парадоксы, якіх унікаюць у тэорыі мностваў толькі шляхам адмысловых хітрыкаў, аказваюцца немагчымымі ў прынцыпе.

Фармалізм

Асноўны артыкул:

Дадзены падыход мяркуе вывучэнне фармальных сістэм на глебе класічнай логікі.

Інтуіцыянізм

Асноўны артыкул:

Інтуіцыянізм мяркуе ў падставе матэматыкі , больш абмежаваную ў сродках доваду (але, як лічыцца, і больш надзейную). Інтуіцыянізм адпрэчвае , многія неканструктыўныя довады робяцца немагчымымі, а многія праблемы тэорыі мностваў — бессэнсоўнымі (нефармалізоўнымі).

Канструктыўная матэматыка

Асноўны артыкул:

Канструктыўная матэматыка — блізкая да інтуіцыянізму плынь у матэматыцы, што вывучае канструктыўныя пабудовы. Паводле крытэрыю канструктыўнасці — «існаваць — значыць быць пабудаваным». Крытэрый канструктыўнасці — мацнейшае патрабаванне, чым крытэрый несупярэчнасці.

Асноўныя тэмы

Лік (колькасць)

Асноўны артыкул: Лік

Асноўны раздзел, які разглядае абстракцыю колькасці — алгебра. Паняцце «лік» спачатку зарадзілася з арыфметычных уяўленняў і адносілася да натуральных лікаў. Надалей яно, з дапамогай алгебры, было паступова пашырана на цэлыя, рацыянальныя, рэчаісныя, комплексныя і іншыя лікі.

${\displaystyle 1,\;2,\;\ldots }$ Натуральныя лікі ${\displaystyle 0,\;1,\;-1,\;\ldots }$ Цэлыя лікі ${\displaystyle 1,\;-1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {2}{3}},\;0{,}12,\;\ldots }$ Рацыянальныя лікі ${\displaystyle 1,\;-1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;{\sqrt {2}},\;\ldots }$ Рэчаісныя лікі
${\displaystyle -1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ldots }$	${\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\dots }$
Камплексныя лікі

Лікі — Натуральныя лікі — Цэлыя лікі — Рацыянальныя лікі — Ірацыянальныя лікі — Алгебраічныя лікі — Трансцэндэнтныя лікі — Рэчаісныя лікі — Камплексныя лікі — — — — — — — p-адычныя лікі — — — Бясконцасць —

Ператварэнні

${\displaystyle 36\div 9=4}$			${\displaystyle \int 1_{S}\,d\mu =\mu (S)}$
Арыфметыка	Дыферэнцыяльнае і інтэгральнае злічэнне		Аналіз
${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y={\frac {d}{dx}}y+c}$
Дыферэнцыяльныя ўраўненні

Арыфметыка — — Аналіз — Тэорыя меры — Дыферэнцыяльныя ўраўненні — —

Структуры

Тэорыя мностваў — Лінейная алгебра — Агульная алгебра (улучае, у прыватнасці, тэорыю груп, , ) — Алгебраічная геаметрыя — Тэорыя лікаў — Тапалогія.

Прасторавыя адносіны

Геаметрыя	Трыганаметрыя	Дыферэнцыяльная геаметрыя	Тапалогія	Фракталы	Тэорыя меры

Геаметрыя — Трыганаметрыя — Алгебраічная геаметрыя — Тапалогія — Дыферэнцыяльная геаметрыя — — Лінейная алгебра — Фракталы — Тэорыя меры.

Дыскрэтная матэматыка

Дыскрэтная матэматыка улучае сродкі даследавання аб’ектаў, здольных прымаць толькі асобныя (дыскрэтныя) значэнні (то бок аб’ектаў, не здольных змяняцца плыўна).

${\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x'))}$
Матэматычная логіка		Крыптаграфія	Тэорыя графаў

Камбінаторыка — Тэорыя мностваў — — Матэматычная логіка — — Крыптаграфія — — Тэорыя графаў — — — Інфарматыка.

Анлайнавыя сэрвісы

Існуе вялікі лік сайтаў, што падаюць сэрвіс для матэматычных разлікаў. Большасць з іх англамоўныя.

Праграмнае забеспячэнне

Матэматычнае праграмнае забеспячэнне — шматграннае:

• Пакеты, арыентаваныя на набор матэматычных тэкстаў і на іх наступную вёрстку (TeX).
• Пакеты, арыентаваныя на рашэнне матэматычных заданняў, лікавае мадэляванне і пабудову графікаў (, , , , ).
• Асобныя праграмы ці пакеты праграм, якія актыўна выкарыстоўваюць матэматычныя метады (калькулятары, архіватары, пратаколы шыфравання/дэшыфраванні, сістэмы распазнання выяў, кадаванне аўдыя і відэа).

Гл. таксама

• Матэматыка ў Беларусі

Зноскі

1. Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «μᾰθημᾰτικά»
2. mathematics | Definition, History, & Importance | Britannica (англ.). www.britannica.com. Архівавана з першакрыніцы 3 студзеня 2018. Праверана 13 студзеня 2022.
3. Беларуская энцыклапедыя ў 18 т. Т. 10. С. 211.
4. Панов В. Ф. Математика древняя и юная. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: МГТУ им. Баумана, 2006. — С. 581—582. — 648 с. — ISBN 5-7038-2890-2.
5. Большой древнегреческий словарь (αω) Архівавана 31 студзеня 2013.
6. Этымалагічны слоўнік беларускай мовы. Т. 6. С. 263.
7. Гістарычны слоўнік беларускай мовы. Т. 17. С. 277—278
8. Этимологический словарь Фасмера «Математика»(недаступная спасылка)
9. Словарь русского языка XI—XVII вв. Выпуск 9 / Гл. ред. Ф. П. Филин. — М., 1982. — С. 41.
10. Декарт Р. Правила для руководства ума. М.-Л.: Соцэкгиз, 1936.
11. См.: Математика Архівавана 5 чэрвеня 2016. // БСЭ.
12. Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. 2-е изд. Т. 20. С. 37.
13. Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963. С. 32, 258.
14. Герман Вейль // Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 16. Архівавана 12 лютага 2007.
15. Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.
16. Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. С. 259.
17. Г. И. Рузавин. О природе математического знания. — М., 1968.
18. Renze, John; Weisstein, Eric W.. Discrete Mathematics (нявызн.). MathWorld.

Літаратура

• Гайшун І. В. Матэматыка // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 10: Малайзія — Мугаджары / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2000. — Т. 10. — С. 211. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0169-9 (т. 10).
• Бернік В. І., Гусак А. А. Матэма́тыка // Беларусь: энцыклапедычны даведнік / Рэдкал. Б. І. Сачанка (гал. рэд.) і інш.; Маст. М. В. Драко, А. М. Хількевіч. — Мн.: БелЭн, 1995. — С. 470. — 800 с. — 5 000 экз. — ISBN 985-11-0026-9.
• Матэматычная энцыклапедыя. — Мн.: Тэхналогія, 2001.
• Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) (руск.). — СПб., 1890—1907.
• Россия/Русская наука/Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) (руск.). — СПб., 1890—1907.
• Математическая энциклопедия (в 5-ти томах), 1980-е гг. // Общие и специальные справочники по математике на EqWorld
• Mathematics // Encyclopædia Britannica, Volume 17, 1911.

Кнігі

• Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. Архівавана 12 лютага 2007.
• Клайн М. Математика. Поиск истины. — М.: Мир, 1988. — 295 с.(недаступная спасылка)
• Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.

• Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ Архівавана 16 кастрычніка 2015. М.: Наука, 1987. 432 с.
• Том II. Геометрия Архівавана 16 кастрычніка 2015. М.: Наука, 1987. 416 с.

• Курант Р., Г. Роббинс. Что такое математика? 3-e изд., испр. и доп. — М.: 2001. 568 с.
• Писаревский Б. М., Харин В. Т. О математике, математиках и не только. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012. — 302 с.

Спасылкі

• The Mathematical Atlas - A Gateway to Modern Mathematics Архівавана 30 верасня 2005.
• В. А. Успенский: Апология математики (+окончание).
• МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ
• Математический форум Math Help Planet
• История математики Архівавана 19 верасня 2017.
• Большой адронный коллайдер как инструмент развития математики
• МЦНМО
• Математические этюды
• Мир математических уравнений